SÉANCE DU l4 AVRIL IQoS. 919 



ANALYSE MATHÉ\1ATr^)i;E. — Sur la discission et l'intégration des équa- 

 tions différentielles du s^conl ordre à coefficients constants. Noie tie 



M. E. A'^AIXIRR. 



t( Les cqualioiis différenlii-lles (|uc l'on renconlre en IMécani |uc sont en 

 général rlii second ordre, el bien sonvent à coefficients constants, lot-sqtlé 

 les liaisons sont indépendantes dti temps. Fréquemment aussi, le temps ne 

 figtîre pas dans les équations. 



» Il arrive aussi, dans bien des cas, que les mouvements que l'on étudie 

 n'ont pas besoin d'èlre discutés dans tous leurs instants, et q'ie la détermi- 

 nation explicite du temps n'est pas indispensable, mais que l'équation en 

 elle-même n'est pas d'une discussion aisée. Lorsqu'il s'agit d'une seule 

 variable, on peut considérer le problème comme revenant à l'élude d'un 

 mouvement rectiligne, et dans ce cas la discussion el l'uitégration peuvent 

 être facditées en opérant comme il suit : 



» Considérons une équation diflfTcnlieile du deuxième ordre à coeffi- 

 cients conslanls 



ri du d'^ u\ 



/(/'•7?7'7^,) = '' 



el joignons à cette équation le système 



tlii , d'il 



a; = (I, y = -— = w , z = — ;-- = u . 



•^ (tl dl- 



On voit qu'à chaque position du mobile u, animé de la vitesse 11 et possé- 

 dant l'accélération u" , correspond dans l'espace un poinl que nous appel- 

 lerons, pour abréger, ^ojV// directeur, el dont les coordonnées par rapport 

 à l'axe Ox du mouvement du mobile el à deux axes Oy el O- rectangu- 

 laires sont respectivement les position, vitesse el accélération du mobile 

 au même instant, de telle sorte que la situation du point directeur définit 

 à chaque moment tous les éléments du mobile. En vertu de l'équation 

 difTérenlielle, le |)oint directeur se meut s'ir la surface dont l'équation est 



de telle sorte que la discussion de celle surface fournit déjà des indications 

 sur la nalure du mouvement. Si la surface est finie, lelle qu'un ellipsoïde 

 ou un tore, tous les éléments x, y, z restent finis, ainsi que tous les élé- 



