94a ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Soit, à cet effet, l'équation différentielle 

 (i) Au--h.Vu'--hA"u"-'-h...-h iCu"= H- 



que nous remplaçons par le système 



( Aa;' + AV + ...+ 2C"z = H^ 



(2) I d^ dy 



I u =^ X, y = -jr, 3 = -^, d'où ydr — z dx = o. 



» Rapportons la surface à ses plans principaux par la substitution 

 orthogonale classique fournie par l'équation en S 



X = au-\- bv -\- cw, y ^ a' u-\- b'v -\- c'w, z = a"u -h b"v -\- c"iv, 

 et l'on obtiendra une surface sous la forme 



(3) Su- -f- SV^ + S"w- = H- ■+- mu ■+- nv -h pw, 

 avec l'équation de condition, dite de la courbe des forces vives, 



,., \ {a'u -h b'ç + c'w) (a'du + b'di> -h c'dw) 



^^ I — (a"u -+- b"i' -+- c"w) (a du -\- b dv -h c dw). 



» Supposons d'abord les trois racines en S existantes, et en même 

 temps la surfitce rapportée à son centre, ce qui supprime les termes du 

 premier degré. En effectuant alors la substitution d'EuJer, c'est-à-dire 

 posant u\jS, vsJS' et w sJS" respectivement égaux à l'un des trois termes 

 Hsinôsincp, Hcosô et HsinOcosç, on mettra l'équation (4) sous la forme 

 du premier ordre et du premier degré 



(5) Mf/9 + Na'9 = o. 



Ce calcul suppose implicitement les S positifs : si cerlains de ces paramètres 

 sont négatifs, on remplacera selon !e cas les lignes trigonométriques de 9 

 ou de <p par les fonctions hyperboliques chco et shu, de manière à ne pas 

 introduire d'imaginaires. 



» Au point de vue géométrique, l'équation (5) est l'équation différen- 

 tielle de la courbe des forces vives décrite sur la surface par \e point directeur 

 de coordonnées x, y, z. 



» Dans bien des cas, en Mécanique, la notion explicite du temps n'est 

 pas nécessaire, de telle sorte que l'équation (5) étant intégrée, le pro- 

 blème est suffisamment résolu; dans le cas contraire, on obtiendrait le 



