SÉANCE DU 20 AVRIL ipoS. 943 



temps par l'une des quadratures / -^ on / — , en y remplaçant x, y, z 



par leurs valeurs en fonction des <p et des 6. 



» Lorsque la surface se trouve déjà rapportée à ses axes, c'est-à-dire 

 lorsque les termes en u'u", u" u et uu' ne figurent pas dans l'équation diffé- 

 rentielle, la substitution indiquée, où les u, v, w ne sont autres que les x, 

 y, z, permet la séparation des variables, et par suite l'intégration de l'équa- 

 tion (5). 



» Ainsi, l'équation (3) ayant pris la forme 



a^ ^ b"" €"■ ' 



l'équation (5) deviendra 



cos6sin6(è^ + acsin çcos(p)(/0 + accos^cp sinôrfcp = o, 



— -r-^ -(iia = $ et intégrant, 



6^ -h ac sintp costo ' ° 



logsinO -f- ^ const. 



» La fonction <P s'exprime aisément au moyen des fonctions circulaires 

 et logarithmiques; quant au temps, il s'obtient par la quadrature 





COS<p 



» Le problème est donc complètement résolu. 



» Si la surface, au lieu d'un ellipsoïde, était un hyperboloïde, il suffirait 

 de substituer à l'un des angles 9 ou ç un argument hyperbolique co. 



» Si la surface se réduit à un cône, pour H = o, il suffira de poser 

 K\/S = Mt^y/S" sinç, vy/W^ tï^y S" cos<p pour obtenir une équation du premier 

 ordre, à variables séparées, de la forme 



1^' +./(?) '/? = "• 



» Lorsque la surface, au lieu d'avoir un centre, est un paraboloïde, on 

 aura dans ce cas l'un des S nul. S" par exemple : mais alors, en tirant w 

 de l'équation de la surface, et substituant dans (4), on aura encore la 

 forme 



» On opérerait de même si S' était également nul. 



