SÉANCE DU 20 AVRIL XÇ}o3. g53 



de même 0^ = B„,6,, ... ; ensuile 0', = B_,„0', 0!. = B ,„0', , ... ; la série de.s 

 transformations de M. Gnichard se compose des couples : (0, 0), (6,,0',), 



(o.,o:) 



» Pour la démonslralion, il suffit de faire des changements de variables. 

 Posons = ç — A, 0'=(p + i|/;<pet(]; sont les fonctions qui figurent dans 

 la Note de M. Guichard. Introduisons deux nouvelles fonctions a; et jk, en 

 posant : 6, := cp -f- i -H -jx, 0', = cp — ']> +■ 2y. On trouvera, à l'aide de (2), 

 que X el y vérifient les équations données par M. Guicliard. On peut conti- 

 nuer, en partant des solutions 0, et 0',. On posera 0, = çp,4-|,, 0, =^9, — 1|^,, 

 et l'on déduira o, = o -H j: + r, w, ^ '| -1- ^ — y. On pourra introduire les 

 fonctions x,, y, en posant 6^ = ç, 4- •]/, -+- 2.x, 0' = o, — ']/, + 2y,, et ainsi 

 de suite. lin faisant tous ces changements de variables, on retrouve tous 

 les détails de la transformation de M. Guichard. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Une noiwelle généralisation du théorème, de 

 M. Picard sur les fonctions entières. Note de M. Georges Remou.vdos, 

 présentée par M. P. Painlevé. 



« Je me propose de faire connaître une généralisation intéressante du 

 théorème fondamental de M. Picard sur les fonctions entières. 

 » Considérons une fonction /"(:;, «) de la forme suivante : 



(1) f{z., u) = u'+ u^-'A,{z) + u'-''A,(z) + . . . + u.\.,_,(z) + A,(» 



oîi u est considéré comme un paramètre et A, (3), A..,(^:-), ..., A^_,(s), 

 A^(z ) désignent des fonctions entières de genre Jini. 



» Posons-nous le problème suivant : 



n Pour combien de valeurs du paramètre u l'équation 



J(z,u) = o 



peut-elle n'avoir qu'un nombre Jini de racines, si tes fonctions A, (3), 

 k.2{z), . . ., Av(z) ne sont pas toutes des polynômes? 



» S'il y a des valeurs de u pour lesquelles f{z, u) soit une constante, 

 ces valeurs sont toutes exceptionnelles ('); une telle valeur est l'infini. 

 Pour abréger le langage, désignons par (E) l'ensemble de ces valeurs; le 



(') J'appelle valeurs exceptionnelles de u celles pour lesquelles l'équation 

 /(;, u) zzio admet un nombre fini de racines. 



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