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nombre maxima de ces valeurs est égal à v, l'infini compris; ainsi pour la 

 fonction/(2, u) = a' -j- A(s)(a'-' -+- u'-^ -h . . , + « + 1) l'ensemble (E) est 

 formé de l'infini et des v — i racines de l'équation 



?/"'^' + U''~- -h ... -h II -h 1 = O. 



» Par une méthode tout à fait élémentaire, je suis arrivé à établir le 

 théorème suivant : 



» I. SU 'éq liai ion /(z, u) = o admet un nombre fini de racines pour v + i va- 

 leurs du paramètre u autres que les valeurs (E), toutes les fonctions entières 

 A, (a), Aj(s), . . ., Av(-) sont des polynômes. 



» D'abord, ce théorème est évident dans le cas où la fonction y(z, m) 

 ne contient qu'une transcendante distincte, c'est-à-dire dans le cas où les 

 A, (s), A^iz), ..., Av(s) peuvent s'exprimer en fonction de l'une d'entre 

 elles et de polynômes, grâce aux généralisations bien connues du théorème 

 de M. Picard établies par M. Borel. 



M Ensuite, en supposant que le théorème soit vrai pour [x = i,2,3, ..., 

 (p — 1), je démontre qu'il en est de môme pour p- ^^ p, p étant un nombre 

 entier quelconque, et p, désignant le nombre des transcendantes distinctes 

 contenues dans f(:-, u) ('). 



» Étant donné que les valeurs ( E) sont toutes exceptionnelles, on peut 

 dire, en général, que le nombre des valeurs exceptionnelles peut être au 

 plus égal à 2v; s'il y en a plus que 2v, toutes les fonctions A, (;), \.2(:-), . . ., 

 Av(:;) sont des polynômes. 



)i On en déduit immédiatement le théorème suivant : 



» H. u = cp(s) étant une /onction à v branches définie par une équa- 

 tion (i), si l'équation (^(z^=^a admet un nombre fini de racines pour 

 2v H- I valeurs distinctes de a, cette fonction u = <p(s) est une fonction algé- 

 brique (^)' 



» Ces théorèmes s'étendent au cas où les fonctions A, (r), A„(3), ..., 

 Av(^) sont des fondions quasi-entières de genre fini d'après la termino- 

 logie et les résultats de M. E. Maillet, Sur les fonctions entières et quasi- 

 entières (^Journal de M. Jordan, 1902, fascicule IV). 



(') J'entends par là que A, (;:), A2(3), . . . , Av(,:) peuvent s'exprimer en fonction 

 de |j. d'entre elles et de polynômes. 



(') M. P. Painlevé, dans son cours à l'Ecole Normale supérieure, nous a signalé ce 

 ihéoràipe comme vraisemblable et cela dans le cas le plus général où la fonction u(z) 

 est de genre infini; la démonstration précédente suppose le genre fini. 



