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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'approximation des nombres par des 

 nombres rationnels. Note de M. Emile Iîorei. , présentée par 

 M. Appell. 



« 1. On sait que, étant donné un nombre réel quelconque a, il existe 

 nne infinité de systèmes d'entiers /j et q tels que l'on ait 



P-.. 



< 



vVs 



» M. Hiirwitz a montré, de plus, que le facteur \/5 ne peut pas être 

 remplacé par un facteur plus grand, si a. est arhilr;nre. Cette proposition 

 et un théorème ,que j'ai démontré dans ma Thèse, et qui joue un rôle fon- 

 damental dans la théorie de la mesure des ensembles (voir mes Leçons sur 

 la théorie des fonctions, Chap. III, et la Thèse de M. Lebesgue), entraînent 

 la conséquence suivante : 



» Considérons un intervalle quelconque, par exemple l'intervalle o ^ a < i . // 



est possible de déterminer une infinité de systèmes finis de fractions -^ ces 



systèmes n ayant pas d'éléments communs, et chacun d'eux ayant la propriété 

 suivante : tout point de l'intervalle donné est intérieur à l'un au moins des 

 intervalles 



P I P , [_ 



7 7"V 3 ^ '/'\^ 



que l'on peut associer au système considéré. 



)) Je me suis proposé de démontrer cette proposition directement, ce 

 qui fournit une nouvelle démonstration, extrêmement simple, du théorème 

 de M. Hurwitz et donne, de plus, une détermination effective des systèmes 

 dont l'énoncé précédent affirme seulement l'existence. On arrive ainsi au 

 théorème suivant : 



» Théorème. — Soit a un nombre réel quelconque, A e? B des nombres réels 



vérifiant les relations 



i<A, B>i5A% 



» On peut déterminer des entiers p et q tels que l'on ait 



I 



< 



'/Va 

 A<5r<B. 



