SÉANCE DU 4 MAI igoS. J o55 



» 2. On doil à Hermitc un rosiiUal fondamental relatif à l'approxitna- 

 lion sinuiltanée de plusieurs nombres par des fractions de même dénomi- 

 nateur. Si l'on a n nombres x,, a^ a„, on peut déterminer des 



entiers Pi<Px, ■ ■ ■ , p,t, q tels que l'on ait 



|a,-^|<A (^ = , ,.,...,„). 



les nombres A et a ne dépendant que de n. Hermile a donné pour a la 



valeur et pour A une valeur qu'il est inutile de rappeler et que 



M. Minkowski a remplacée par une valeur plus avantageuse. J'ai démontré 

 qu'il n'est pas possible de prendre pour a une valeur s upérieure à celle qu'a 

 indiquée Hermile. 



» On peut déduire du théorème d'Hermite une générairsation du résultat 

 énoncé en premier lieu, en utilisant l'extension à l'espace à n dimensions 

 du théorème sur la mesure auquel j'ai fait allusion. I.a possibilité de cette 

 extension (sans modification dans la démonstration que j'avais donnée) a 

 été signalée, [lour la première fois, par M. Lebesgue dans sa Thèse; 

 M. Lebe.sgue s'est d'ailleurs limité à ce qui était nécessaire aux applications 

 qu'd avait en vue; aussi n'est-il peut-être pas inutile d'énoncer ici le théo- 

 rème fondamental auquel on parvient, sous sa torme la plus générale. 



)) TuÉOKÈME. — Soit, dans l'espace à n dimensions, une infinité dénom- 

 brable d' ensembles fermés (^c est-à-dire tels que chacun contienne son dérivé) 

 E,, E^, .... E^, . . . , et un ensemble quelconque E tel que tout point de E soit 

 intérieur à l'un des E,. On peut, dès lors, choisir parmi les F^^ un nombre limité 

 d'ensembles tels que tout point de E soit intérieur à l'un d'eux (' ). 



» La démonstration peut être calquée sarcelle qui est donnée dans mes 

 Leçons sur la théorie des/onctions, p. 4'-^- P- 



» Les résultats précédents, joints à quelques autres, sont exposés avec 

 plus de détails dans un Mémoire qui paraîtra prochainement dans le 

 Journal de M. Jordan. Les méthodes suivies me paraissent d'ailleurs pouvoir 

 conduire à bien d'autres résultats dans la Théorie des nombres et TAlorèbre. » 



(') M. Lebesgue a remarqué que l'iiyjjollièse que les ensembles donnés sont en infi- 

 nité dénombrahle n'est pas nécessaire. Celle remarque, forl utile dans cerlaines appU- 

 cations, n'intervient pas dans mes recherches actuelles. 



