r I 36 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» D'ailleurs, il suffit d'intégrer celte dernière équation. La solution 

 générale de (i) peut alors s'obtenir de la manière suivante : 



» L'équation (7)3 lieu pour toute valeur de 6 qui satisfait la résultante 

 des équations (4) et celles formées successivement de la même manière. 

 Or, on peut démontrer que le résultant de cette équation résultante est 

 une puissance de la fonction 



rt,„ -«,„_, 6 + «,„_, 6^ -...±e"'. 



» On a donc, en général, m valeurs distinctes de 9 qui sont, d'ailleurs, 

 les m solutions de l'équation (4); et, pour chaque valeur 0^. de 0, une 

 intégrale distincte [<r]^- de (7), contenant deux constantes arbitraires. 

 Enfin, il est aisé de voir que la solution générale de (i) est une fonction 

 linéaire à coefficients constants des m. intégrales \w\^, \}v\^, .... [tv],„. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur les systèmes linéaires de cercles. Note de M. Mesuret, 



présentée par M. Appell. 



« Considérons les équations de deux sphères {a) et (h) en coordonnées 

 pentasphériques 



^a,.r/=o, ^b^Xkr=o, (t, A:) = (r , 2, 3, 4, 5), 



et prenons pour coordonnées de leur cercle d'intersection les quantités 

 définies par les relations 



On obtient ainsi, comme on sait, dix coordonnées homogènes surabon- 

 dantes; elles sont reliées par cinq relations quadratiques dont trois seule- 

 ment sont indépendantes. Ces formes jouent un rôle spécial qui a été 

 étudié par M. Kœnigs dans les Annales de la Faculté des Sciences de Tou- 

 louse {18S8). 



M Si l'on établit entre les dix coordonnées p^, une relation homogène, 

 les cercles correspondants appartiennent à un système Sj, l'indice 5 indi- 

 quant que ces cercles ne dépendent plus que de cinq paramètres. 



» En particulier, un système linéaire ou Aj est représenté par l'équation 

 linéaire 



( 1 ) 2 '^'''P''' ^ ^ -^iki^i^k — a,,b,) = o. 



