SÉANCE DU II MAI IQoS. II 27 



avec 



A,A= — As,-, A„ = o; 



en supposant fixe la sphère («) et posant 



(2) a; = 2^'*^/" 



l'équation (i) peut s'écrire 



y^ «; 6, = o ; 



ce qui prouve que Ips sphères (h) qui coupent la sphère (a) suivant un 

 cercle du système A^ sont orthogonales à une sphère fixe («'). L'identité 



Va^ «,= o prouve d'ailleurs que cette sphère (a'), dite la conjuguée de la 



sphère (a), lui est orthogonale. La liaison entre une sphère et sa conjuguée 

 n'est pas réciproque; en effet, toutes les sphères conjuguées sont ortho- 

 gonales à une sphère fixe, dite centrale. 



» Ceci rappelé, tous les cercles d'un même système A5 situés sur la 

 sphère (a) se trouvent ainsi orthogonaux à la sphère (a') conjuguée de (a); 

 mais il est bon de faire remarquer que leur système pourrait être directe- 

 ment défini sf/r /a sphère par la condition d'être orthogonaux à un cercle 

 fixe (a, a'), à savoir, le cercle d'intersection de la sphère (a) avec sa conju- 

 guée. Ce cercle, qui s'est présenté à nous, à diverses reprises, au cours de 

 nos recherches et qui joue un rôle essentiel dans cette théorie, nous pro- 

 posons de l'appeler le cercle directeur de la sphère (a). Nous reviendrons 

 dans un instant sur certaines propriétés du cercle directeur. Faisons 

 observer aujiaravant que les remarques précédentes permettent de faire 

 correspondre à tout cercle C de l'espace un autre cercle C, car à toutes les 

 sphères passant par un même cercle C correspondent comme conjuguées 

 toutes les sphères passant par un secoml cercle C orthogonal, naturelle- 

 ment, à la sphère centrale. La corresjX)ndance entre ces diverses sphères est 

 homographique, en ce sens que le rapport anharmonique de quatre sphères 

 menées par le cercle C est égal à celui des quatre sphères conjuguées me- 

 nées par C. Ces cercles jouissent de la propriété jwrticulière suivante : 

 si une sphère (S) est orthogonale au cercle C, sa conjuguée (S) est orlJiogo- 

 nale au cercle C. 



» En particulier, le cercle conjugué d'un cercle du système A3 est en 

 bi-involution avec lui, c'est-à-dire qu'il contient les centres des sphères de 

 ■rayon nul menées par ce cercle. 



