SÉANCE DU II MAI igoS. I 1 29 



dans le voisinage de z = a, une infinité de racines, quelle que soit la valeur 

 donnée à u (exception étant faite pour 2v valeurs de u au plus). 



» S'il n'existe pas de valeurs exceptionnelles de u, le théorème est dé- 

 montré; s'il en existe, on peut (moyennant une transformation homogra- 

 phique effectuée sur u) faire en sorte qu'une de ces valeurs soit « ^ co. Il 

 est loisible enfin d'admettre que le point s = a est l'infini. Le théorème 

 s'énonce alors ainsi : 



» Si l' équation (^i) en z, où ^.^, . . . , A,, sonl pour s = 30 des fondions 

 entières ou quasi-entières (') de z, n admet, dans le domaine de z = ^, 

 quun nombre fini de racines pour 2v valeurs finies distinctes données à u, les 

 kj sonl des polynômes. 



Ce théorème a été démontré rigoureusement par M. G. Ramoundos, dans 

 l'hypothèse où les fonctions Ay sont d'ordre fini. Voici, d'autre part, 

 quelques résultats qui confirment l'idée de M. Painlevé. 



M II n'y a pas v valeurs distinctes finies de u pour lesquelles /(3, u ) soit 

 d'ordre apparent plus petit que le plus grand des ordres apparents, finis 

 ou non, de A,, . . ., A^ ('), pour s = =0. 



» On voit, par extension de démonstrations données par M. Borel {'') 

 et nous (*), que : 



» I. Quand A, , . . ., A.^ sont d'ordres apparents finis pour z = 'Xi, si f est le 

 maximum de leurs ordres, f(^z, u) ne peut être d'ordre réel fini <| p pour plus 

 de (av — i) valeurs finies distinctes de u. 



» IL Quand h. i, . . ., A,, sont d'ordres apparents non tous finis et que 



I A,- 1 = e''^ (I z I grand, pfini, e aussi petit quon veut pour \ z \ assez grand, 

 mais fini) quel que soit i, f(z,u) ne peut être d'ordre réel fini pour plus 

 de (2v — i) valeurs finies distinctes de u. 



» Ceci s'étendrait probablement au cas général où A,, . . ., A^ sont des 

 fonctions quasi-enliéres quelconques pour z = ao en suivant les méthodes 

 de M. Borel (Acta math., l. XX) et les indications complémentaires que 

 nous avons données ailleurs (Bull. Soc. math., lac. cit.). Nous laissons à 

 d'autres le soin de développer cette question. » 



(') Voir, pour cette terminologie, Comptes rendus, 24 novembre 1902, 2= sem., 

 p. 889, et Bull. Soc. nialh., fasc. 1, 1908. 



(-) Cette rédaction nous paraît assez claire, au moins pour les ordres non trans- 

 finis. 



(') Leçons sur les fonctions entières, p. gS. 



(') Journal de Malliéniatiques, 1902, p. 3-6. 



