SÉANCE DU l8 MAI 1903. Il85 



GÉOMÉTRIE. — Sur la décomposition d'une substitution linéaire, réelle et 

 orthogonale, en un produit d'inversions. Note de M. Lêobi Autonne, 

 présentée par M. Jordan. 



« L'inversion étant, dans un espace quelconque, la transformation par 

 ravons vecteurs réciproques, la présente Note contient la solution com- 

 plète et efieclive de la question suivante : Décomposer une substitution 

 linéaire n-aire S, réelle et orthogonale, en un produit d'inversions. Que la 

 décomposition est possible, on le sait d'avance. En effet, -S est isogonale, 

 c'est-à-dire conserve les angles. Or (Liouville, MM. Darboux, Poincaré, 

 Goursat, etc.) toute isogonale est un produit d'inversions. 



» Conservons la terminologie et les notations de mes Communications 

 précédentes (22 juillet igor, 17 mars et 7 juillet 1902, 9 mars 1903). 



)) Soient n variables réelles x, (/=i, 2, ...,«), coordonnées d'une 



sphère réelle x dans un espace à n — 2 dimensions, V a;- = i. L'invariant 



simultané, vis-à-vis de toute S, V a;y des deux sphères ic et y est le cosinus 



de leur angle. Je définis une inversion A comme une S, où : i** le détermi- 

 nant |Â| = — i;2° |pE — A] = (p — i)"-'(p-l- i);on a 



k{x,y)=E{x,y) — il-n où ç=^aa7, 'i=2«J, 



les a,- étant les coordonnées de la sphère invertanle a, V a- = i . 



» \^e polysphère X (\e& p s'^hhres a,, ..., a p fournit une S, si S = A,, ..., A^, 

 où aj est la sphère invertante de l'inversion Ay (y = i, 2, . . .,/>). On se 

 trouve ainsi en présence de deux problèmes réciproques : 



» L Construire S, connaissant =1,; 



» IL Construire X, connaissant S. 



» Voici la solution du problème I. Nommons \j^^ le cosinus de l'angle 

 des deux sphères ay et a^; soit sig. :; une expression telle que sig.s =: — i , 

 o ou I , suivant que z est <[ o, o ou > o. Posons 



l i 



et introduisons les deux matrices />-aires 



.\={-kjk), V/,= [i+vsig.(^-y)], |v^| = i. 



