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et pour tous les points, intérieurs à l'intervalle donné ( — i , + i), 



^, |R„(.x-)l<s", 



s" étant un nombre positif, donné à l'avance. 

 » La fonction yo, admet un maximum pour 



elle croît, lorsque ce croît de — i à x^, et décroît, lorsque x- varie de x„ 

 à -4- I. Soit (a,, b,) un intervalle quelconque, pris arbitrairement à l'inté- 

 rieur de l'intervalle donné (— i , -+- t). Désignons par [jl la plus petite des 

 quantités 



(. + a,)"(i-a./. (i + h,y(i-b,y. 



» On aura, pour «>v et pour toutes les valeurs dex, comprises dans 

 l'intervalle («,, b^ ), 



IR«(^)1<^<- 



M II en résulte, en vertu de (3), que 



II 



<^, 



ce qui démontre le théorème suivant : 



» Toute fonction / admettant une dérivée du premier ordre, bornée et inté- 

 grable dans l' intervalle (— i, +■ i) se développe, dans tout intervalle intérieur 

 à l'inten'alle donné, en série uniformément convergente procédant suivant les 

 polynômes de Jacobi ( ' ). 



» Une méthode tout à fait analogue conduit au même résultat dans les cas 

 des fonctions spéciales de deux premières classes de Tchébicheff, des 

 fonctions Y k{k =1,2, . . .) qui se rencontrent dans le problème de refroi- 

 dissement d'une barre hétérogène, et ainsi de suite. » 



(') Comparez mon Mémoire : Sur le développement d'une fonction donnée en 

 séries procédant suivant les polynômes de Tchébichcjf. etc. {Journal fiir die reine 

 und angewandte Mathcmatik. Bd. CXXV, Heft3). 



