SÉANCE DU 23 MAI If)o3. 1233 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur VintègrahUité (V une expression différentielle. 

 Note de M. P. Montel, présentée par M. Painlevé. 



« T. Considérons l'expression 



A =p{oc, y) dx -H q{x,y) dy, 



où p el q sont des fonctions continues de {x, y) ; lorsque ;/- et -j^ existent 



et sont continues, la condition nécessaire et suffisante pour que A soit 

 intégrable s'exprime par l'équation 



dp dq 



dy dx 



» Supposons seulement la continuité de /? et <^ : on peut, par <les condi- 

 tions se réduisant à la précédente dans le cas où elle est applicable, expri- 

 mer que/) et q sont les dérivées partielles d'une fonction. 



» Soient /{x, y) une fonction continue de (^x, y^ dans un domaine D et 

 le rapport 



/(x + /^ Y + k) - f{x + h, y) - f{x, y + A) + f{x, y) 



r = 



hk 



(hk ^ o). 



Quand x,y^ h, k varient de manière que les points (^x,y), (x -h à, y), 

 (x, y -+- k), (x -+- h, y -h k) restent dans un domaine D' intérieur à D, r a 

 un maximum M et un minimum m. Si_/ possède des dérivées/? et q, M elm 

 sont aussi le maximum et le minimum des rapports 



» Supposons que —- el -y- existent (le résultat serait le même en consi- 

 dérant les nombres dérivés) : Dans tout domaine D', les fonctions ~- et ^ 



^ •' dy dx 



ont même maximum et même minimum. Réciproquement, si celte condition 

 est remplie et si-^el-y- sont intégrables,/) et ^^ sont les dérivées partielles 



d'une fonction. D'une manière générale : La condition nécessaire et suffi- 

 sante pour que p et q soient les dérivées partielles d'une fonction est que l'en- 

 semble des points où y- est différent de -~ ait une mesure nulle. 



G. R., 1903, I" Semestre. (T. CXXXVI, N» 21.) l^O 



