1^34 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Soient u et v, fonctions continues de {x, y); les conditions précé- 

 dentes permettent d'exprimer que u ■+■ iv est analytique en a; -i- iy. En par- 



,• I- • du Ou di' di' ■ ^ ^ ^ , -o ^ 1 1 .• 



ticulier, si -T- > -T- , j- ) -r- existent et verihent les relations connues, u + nf 



est analytique en ^ + iy, théorème à rapprocher de celui de M. Goursat. 

 ■» II. Considérons l'intégrale 



r /a dydz — B dz dx -h C dx dy 



prise sur une surface intérieure au domaine 1) où A, B, C sont des fonc- 

 tions continues de (a:, j, ^) et admettent les dérivées -r— i -y-, -p : pour 



que l'intégrale ne dépende que du contour limitant la surface, il faut et il suffit 

 que V ensemble des points où 



dk ÔM àC . 

 ar: oy ôz- ' 

 ait une mesure nulle. 



» Soit maintenant M + ^Vune fonction de deux variables complexes : 

 les relations exprimant que la fonction est analytique par rapport à chaque 

 variable permettent de conclure que l'intégrale de u + iv étendue à un 

 domaine fermé à deux dimensions est nulle. On peut donc répon<ire affir- 

 mativement à la question, posée par M. Painlevé, de savoir si une fonction 

 de plusieurs variables, analytique par rapport à chacune d'elles, est analy- 

 tique par rapport à l'ensemble de ces variables. 



» Les raisonnements précédents supposent bornées les fonctions dont 

 on se sert. 



» m. L'étude du rapport /explique l'analogie des deux problèmes de 

 l'intégiation des équations 



)) Les résultats obtenus dans l'étude de l'existence des intégrales de 

 l'équation j' =y (a;, y) quand on suppose seulement la continuité de y 

 peuvent être retrouvés simplement en reprenant la méthode de Cauchy. 

 Soient x„, y^ les valeurs initiales; appelons polygone de Cauchy tout poly- 

 gone j' = ?(^) ayant un sommet en (a?,,, J'o) ^^ '^^1 que le coefficient angu- 

 laire de chacun de ses côtés soit égal à la valeur de /à l'une des extrémités 

 de ce côté : Toute intégrale passant en (•ï^o'.'^'o) ^^^ '^ limite d'une suite de 

 polygones de Cauchy. Récijiro pieiuout, comme l';\ établi M. Arzeli, de 



