SÉANCE DU 2,^ MAT îgoS. 1235 



toute suite de polygones dont le nombre des côtés croit indéfiniment, on 

 peut en extraire une autre ayant une courbe limite qui est une intégrale. 

 Il existe deux intégrales passant en (.r,,, >'„), l'intégrale supérieure et l'in- 

 tégrale inférieure, qui limitent la région du plan où restent toutes les inté- 

 grales issues (](i(xo, /„) et, par tout point de cette région, passe au moins 

 une de ces intégrales. 



» Pour la seconde équation, cherchons les intégrales se réduisant à v^{y) 

 pour X = ce ^ et à (j/(a;) poar y =: y^ : cp et (j> sont des fonctions continues 

 égales en (^cCg,y^). En remplaçant les polygones de Cauchy par des sur- 

 faces formées de morceaux de paraboloïdes de plans directeurs Oxz, Oyz, 

 on est conduit à des résultats analogues aux précédeat'i. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème de Lejeune-Dirichlet. 

 Note de M. A. Pellet, présentée par M. H. Poincaré. 



A, A 

 « Considérons la série : A. -\ -" +. . .-i -, +. . ., où les coefficients A,, 



ont la même valeur pour tous les nombres n donnant le même reste dans 

 leur division par k. Elle peut s'écrire : 



en adoptant les notations de M. Hadamard ('). 



» D'après la formule (voir ma Note du 4 'n^i I9'j3) '((a, 5) égale limite 

 pour V infini de l'expression 



rt* {a -y- ly (rt + V — i)»' 



lorsque la partie réelle de s est comprise entre o et i , o <] cK{s) <^ ( , on a 

 (i) L(5) = -],.[A,c(i,.) + A,c(|>^)+...-4-A,(i,.)], 



si la somme A, + Aj-f-. . . + A;t est nulle, ^(*)^o. Cette fonction L(*) 

 peut s'annuler pour des valeurs particulières de 5, mais non identiquement, 



(') Sur la distribution des zéros de la fonction C{s) et ses conséquences arithmé- 

 tiques {Bulletin de la Société mathématique, t. XXIV, 1896, n° G). 



