SÉANCE DU 25 MAI KJoS. 12.37 



construire tous ces réseaux. On peut diriger les calculs de façon à n'introduire que 

 des quadratures dans les résultats. 



» Ces lignes m'avaient décidé à ne pas revenir sur le problème général 

 des réseaux doublemenl. cylindres. Mais, mon attention ayant été rappelée 

 de|niis sur la transformation de Peterson, j'ai reconnu que le théorème 

 de M. Guichard ne fournit pas les réseaux doublement cylindres dont une 

 famille est composée de courbes de contact de cylindres circonscrits. 

 Cela lient à ce que ces réseaux singuliers se correspondent à eux-mêmes 

 dans la transformation considérée. J'ai été ainsi conduit à reprendre la 

 question par la méthode indiquée dans ma Note et j'ai obtenu la détermi- 

 nation entièrement explicite des surfaces qui présentent un réseau dou- 

 blement cylindre par des formules où ne figure aucun signe de quadrature. 



» Dans ces formules, les lettres U, affectées ou non d'indices, représen- 

 tent des fonctions a/-èiVra?re* du paramètre u d'une des familles du réseau; 

 les lettres V représentent des fonctions arbitraires du paramètre v de 

 l'autre famille; les accents indiquent des dérivées. 



» RÉSEAUX SINGULIERS. — Lcs ligHcs U = coust. sout toujours des 

 courbes de contact de cylindres circonscrits. Trois classes de surfaces 

 (coordonnées 6,, ô^, O3). 



» 1° Les lignes t» = const. sont aussi des courbes de contact de cylindres 

 circonscrits (surfaces de translation) 



(I) Ô« = U„^V„ (n = i,2, 3); 



» 2° Les lignes v = const. sont des courbes de contact de cônes circon- 

 scrits 



(II) 0„=U„V+V„ (« = i,2, 3); 



)) 3" Les lignes i^ = const. ne sont pas des courbes d'ombre 



(III) 0„=H^(U + V)-(U„-r-V„) {n = 1,1,3). 



» Réseaux non singuliers. — Aucune des deux familles conjuguées 

 n'est formée par des courbes de contact de cylindres circonscrits. Trois 

 classes de surfaces : 



» 1° Les lignes u = const. et les lignes c = const. sont des courbes de 

 contact de cônes circonscrits 



(IV) e« = %^ (« = i,2,3); 



