SÉANCE DU 25 MAI igoS. 123() 



GÉOMÉTRIE. — Sur la déformation des sut faces. 

 Note de M. Maurice Servant. 



« Il existe sur toute surface S une série de lignes qui jouent un rôle 

 particulièrement important dans le problème de la déformation : ce sont 

 celles qui correspondent aux lignes asymptotiques d'une surface S' appli- 

 cable sur S. Nous les nommerons avec M. Bianchi les asymptotiques vir- 

 tuelles de S. 



M Nous nous proposons, dans ce Travail, de résoudre complètement le 

 problème suivant, posé et résolu dans un cas particulier par M. Bianchi (') : 



» Déterminer un couple de surfaces S e/ S , tel que, à toute asymptolique 

 virtuelle de S, corresponde une asymplotique virtuelle de S,. 



» M. Darboux a donné (Th. des surf, t. III) les équations des asympto- 

 tiques virtuelles et il a montré que la connaissance d'un tel réseau per- 

 mettait de déterminer une surface S' apj)licable sur S : par conséquent le 

 problème de la déformation sera le même pour S et S,. 



» Soit 



(i) ds'-=E du- -h 2F du dv -h G dv'- 



l'élément linéaire de S. Si a et p sunL les paramètres des asymptotiques vir- 

 tuelles, u et V seront déterminés en fonction de a et ji par les équations 

 (Darboux Th. des surf ., t. IV) 



d-u n 1 1 ) d , ~\ ou du 





Iv àii (Ji'\ 1 22 ) di' _ 



1 ( 1 I 2 C/l' " ' J \ "^ <^p "p f^/ f 1 ) wx ^'^ 



» Soit 

 (2) ds'-^ = E, du- -+- 2F, du dv + C, dv- 



(') BiANCUi, /?. dei Lincei, 1902. M. Bianchi a résolu coinplèlement le pro))lème d^ne 

 lo eas où S et S, sonl des surfaces de révolution. 



