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I2/|0 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



l'élément linéaire d'une surface S,; ses asymptotiques virliielles seront 

 définies par des équations analogues et l'on voit facilement qu'il est néces- 

 saire et suffisant pour que les asymptotiques virtuelles se correspondent 

 sur S et S,, que l'on ait les égalités : 



(n) d , iii) à , 



:-!_i-f iogp = |--î -i-f lo.^p., l'H 



laa) d , 122 ) d , 



( 13) là, 112) là, lu) ; ri , 



l2i-2 J^l°gP=(2|,-;^'"§?" i2! = J2! 



» On peut remplacer ce système d'équations par le suivant : 



O iaj M j, "(2 i.' M ^1 I (-12 



I22 / (22) (ni (11) 



/ ' ( " 1 ' I.' h i " Î^J; 



3 d logp (11) ( 12 ) 3 c> 



(4) 



2 du I 



2 il 2 É>K î''^' 



3(?, (22) (12) 3tî, 

 --plogp= + j-iogp,. 



» Les deux dernières peuvent être remplacées par la suivante : 



(5) aHp"^=H,p;' 



(a constant). 



» On trouve de suite l'interprétation géométrique de quatre premières 

 équations de condition; elles signifient que les géodésiques se correspon- 

 dent sur les deux surfaces S et S, ; donc, d'après les résultats di' Diui, l'élé- 

 ment linéaire de S devra avoir l'une des trois formes 



(6) </5* = U*(</m^4- </c-) surface de révolution, 



(7) ds- = 2(y u -h y t) du dv forme de S. Lie, 



(8) ds''=(u-i')(U"-du^-[-\^d^^) forme de Liouville. 



» M. Bianchi, qui est parvenu aux résultats qui précèdent par une 

 méthode différente, a examiné en détail le cas où l'élément linéaire de S 

 est de révolution; nous laisserons donc ce cas de côlé pour nous occuper 

 des deux autres. 



