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P et Q étant des fonctions holomorphes; la fonction P est nécessairement 

 nulle pour x = j = o et, en posant 



P(x,y) = y.œ -h py + Q(o,o) = g, 



la singularité est caractérisée par les deux constantes a et fl et la constante g . 

 » J'ai seulement annoncé l'existence de solutions de celte forme; ma 

 démonstration utilisait des développements en séries trigonoinétriques. 

 Depuis cette époque, le cas particulier de a ^ p = o a fait l'objet des 

 recherches de divers auteurs, auxquels ma Note avait certainement 

 échappé. En particulier, M. Hedrick, dans une thèse remarquable (' ), a 

 donné une démonstration extrêmement simple de l'existence des solutions 

 précédentes supposées de la forme 



Q(3[',y)\oo(^x'--hy-)-\-Q,(x,y) (Q et Q, holomorphes), 



ce qui correspond en fait à a = p ^ o. 



)i 2. J'ai indiqué récemment dans mon Cours que la démonstration de 

 M. Hedrick peut encore être utilisée pour le problème plus général que 

 j'avais posé, où a et p sont différents de zéro. C'est ce que je vais montrer, 

 en supposant, uniquement pour abréger l'écriture, que a el b sont nuls. 



» Soit donc l'équation 



(i) Au H- eu = o, 



c étant holomorphe autour de a; — o, y = o. 

 » En faisant le changement de variables 



X -\- iy = l, X — iy = r,, 



l'équation devient 



Y s'exprimant aisément à l'aide de c. 



•n Nous voulons avoir une solution de la forme 



„=îli|i:^+G(H,rOlog?r„ 



P et G étant homolorphes pour E ;= o, y, = o. En faisant la substitution de u 



( ' ) K .lliiDRiCK, Ueber dcn analytischen Chai acier der Lùsiingen von Diffcrenlial- 

 gleichitngen. Gottiiigen, 1901. 



