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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur Ics propriétés infinùésirnaks des systèmes 

 linéaires de cercles. Note de M. Mesuret, présentée par M. Appell. 



« Dans une précédente Note nous avons exposé les principales proprié- 

 tés e;éonnétriqiies des systèmes linéaires de cercles. Nous nous proposons 

 ici d'exposer leurs propriétés infinitésimales, en entendant par là la déter- 

 mination des variétés sphériques dont certains éléments différentiels, que 

 nous définirons, appartiennent à des systèmes A5. 



)) Tout d'abord, considérons une variété sphérique à une dimension, 

 c'est-à-dire une famille de sphères dépendant d'un seul paramètre. Nous 

 sup[)oserons, pour exprimer cette dépendance, que les coefficients de l'é- 

 quation pentasphérique de la sphère génératrice sont fonctions d'un para- 

 mètre et nous dirons qu'une variété sphérique à une dimension est unicur- 

 sale quand les fonctions précédentes sont des fonctions rationnelles. 



» Or, les cercles caractéristiques de ces sphères constituent, comme on 

 sait, un premier système de lignes de courbure de la surface-enveloppe; 

 en partant de ces définitions nous arrivons à la propriété suivante : 



» Les lignes de courbure circulaires des surfaces enveloppes de iHiriétcs sphé- 

 riques unicursales à une dimension d'ordre inférieur ou égal à 5 peuvent 

 faire partie d'un système A3. 



» En particulier, les variétés unicursales du 3^ ordre ont pour surfaces 

 envelopi)es des anallagmatiquesavant une cubique gauche pour déféiente; 

 d'après la proposition générale qui précède, ces variétés appartiennent à 

 un A5 par leurs lignes de courbure circulaires et il est à remarquer que les 

 tangentes à la déférente appartiennent en même temps à un complexe 

 linéaire de droites. Et, pour demeurer toujours dans le domaine des 

 variétés sphériques à une dimension, si nous cherchons quelles sont les 

 variétés unicursales dont les cercles d'intersection de toutes les sphères 

 génératrices prises deux à deux puissent faire partie d'un système A5, nous 

 trouverons seulement les variétés du second ordre qui ont pour surfaces 

 enveloppes des cyclides à déférentes de coniques. 



» En second lieu, considérons une variété sphérique à deux dimensions, 

 c'est-à-dire une famille de sphères dépendant de deux paramètres. Nous 

 supposons encore que les coefficients pentasphériques de l'équation de la 

 sphère génératrice sont fonctions de deux paramètres indépendants et nous 



