SÉANCE DU 8 JUIN igoS. l383 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales de l'équation 



Note de M. E. Goursat, présentée par M. Emile Picard. 



« D'après une proposition aujourd'hui classique de la théorie des équa- 

 tions aux dérivées partielles, on sait que l'équation 



(i) s=f{.T, y. z, p, q) 



admet une intégrale se réduisant, pour x=^.x\, à une fonction donnée 

 (p(j'), de la variable y, et, pour j' = j'„, à une autre fonction donnée '{'(■r) 

 de la variable x; les fonctions /(a;, y, s, p, q), <p( v), H^) ^°^^ d'ailleurs 

 soumises à certaines conditions d'un caractère très général. 



» Un problème plus général consiste à rechercher une intégrale se 

 réduisant, pour y =^ iy.x, à une fonction donnée <f(x), et, poiir y = [î.r, 

 à une autre fonction donnée 'li(x'), a et p étant deux constantes différentes 

 de zéro. La question présente des difficultés spéciales, tenant à ce que les 

 courbes données par lesquelles doit passer la surface intégrale ne sont 

 plus des caractéristiques. L'emploi des approximations successives, com- 

 biné avec la résolution de certaines équations fonctionnelles, conduit aux 

 résultats suivants : 



» Si les fonctions f(x, y, z, p, q), iji(x'), '\'(y) sont des fonctions ana- 

 lytiques, soumises aux restrictions habituelles, il existe une intégrale analy- 

 tique et une seule, satisfaisant aux conditions voulues, pourvu que le module 



du rapport - soit différent de l unité. 



» En restant dans le domaine réel, on peut traiter le même problème en 

 supposant seulement que les fonctionsy, cp, (j/ sont continues et admettent 

 des dérivées continues, satisfaisant à la condition de Lipschitz. Mais on 

 arrive à des résultats différents suivant les signes de a. et de (3. Pour fixer 

 les idées, je suppose la fonction/continue ainsi que ses dérivées partielles 

 dans le voisinage des valeurs x =■■ y = z ^= p =^ q ^= o\ je su[)pose, de plus, 

 que l'on ait (p(o) = o, ^'(o) = o, '^{o) = o, ^' {o) = o, et que les fonc- 

 tions <p(a'), 9' (a;), ij{x), '^\x) sont des fonctions continues de x dans un 

 certain intervalle 



O^J7<[A. 



