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» Cela posé, si a et ^ sont positifs tous les deux, il existe une intégrale 

 5 = F(a;, r) de l'équation (i), continue dans un certain rectangle R dé- 

 fini par les inégalités 



o^a;<[«, o^J'<C^^ 



où a et i sont des nombres positifs convenablement choisis, se réduisant 

 à cp(^) quand on remplace r par o-X, et à <l(x') quand on remplace y 

 par ^jx. Olte intégrale est complètement déterminée dans le rectangle R 

 par les conditions précédentes. 



» Les conclusions sont différentes lorsque a. et p n'ont pas le même 

 signe. Supposons a > o, [î <[ o, a + [i ^ o, et soit R' le rectangle défini par 

 les conditions 



o<a;<a', — è'<y<//; 



a' et b' étant des nombres positifs convenablement choisis. Il existe une 

 infinité d'intégrales de l'équation (x), continues dans le rectangle R', se 

 réduisant à la fonction 9(0;) pour y=^a.x, et à la fonction '^{x) pour 



y = fia?. 



» La démonstration de ces différents théorèmes exige d'assez longs 

 développements que l'on trouvera dans un Mémoire plus étendu. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du troisième 

 ordre qui admettent un groupe continu de transformations. Note de 

 M. A. Boulanger, présentée par M. P. Painlevé. 



« 1. Soit à rechercher les équations différentielles du troisième ordre 



(0 y" = R(^.v,7',y') 



(où R est rationnel en y", y, analytique enj', x) qui admettent un groupe 

 continu à trois paramètres de la forme 



(r) lL = x, Y = Y{x,y), 



où F est rationnel en y, analytique en x. D'après un théorème beaucoup 

 plus général de M. Painlevé (^Comptes rendus, 3o avril rgoo), toutes ces 

 équations, qui peuvent se former par opérations différentielles et algé- 

 briques, auront leurs singularités non polaires fixes. Si, parmi elles, il s'en 

 trouvait qui ne fussent pas linéaires, ce seraient des équations à points 

 critiques fixes nouvelles. 



