SÉANCE DU 8 JUIN IcjoS. l385 



» Bien que la théorie des <^roupes assure alors la réduction de ces 

 équations, cette réduction n'est pas explicite, et les inversions qu'elle 

 existe pourraient conduire à de nouvelles transcendantes uniformes. Dans 

 le cas du groupe (T), il n'en est rien : 



» Les seules équations qui répondent à la question ne peuvent être que des 

 équations linéaires ou se déduisent d' équations linéaires par une transforma- 

 tion homo graphique effectuée sur la fonction y, suivie ou non du, changement 

 de fonction y ±= e~ . 



» 2. Tout d'abord, en s'aidant de la classification de hie {Transforma- 

 tionsgr., t. III, p. 713-716), on établit aisément le résultat suivant relatif 

 au groupe (T) : moyennant une transformation homographique bien déter- 

 minée effectuée sur j', les transformations infinitésimales du groupe (r) se 

 ramènent à l'une des quatre formes : 



(les oc étant des fonctions analytiques de x), et il est facile d'en former le 

 prolongement jusqu'au troisième ordre. 



» 3. La transformation de réduction des transformations infinitésimales 

 du groupe (r) à l'un de ces types conserve le caractère de l'équation (i), 

 qui, par hypothèse, admet ce groupe. Supposons-la effectuée préalable- 

 ment sur l'équation (i). Cette équation, ayant ses points critiques fixes, 

 est astreinte à certaines conditions nécessaires établies par M. Painlevé 

 (^Comptes rendus, 2 avril 1900); elle est de la forme 



(2) y"=.A/-+By'+C; 



regardé comme fonction de y' , A. n'a que des pôles simples, au nombre de 

 trois au plus; B et C n'ont que des pôles simples, coïncidant avec ceux 



B C 



de A; enfin, pour y = ce, — et -77^ restent finis. En exprimant que l'équa- 

 tion (2), de forme ainsi précisée, admet les trois transformations infinité- 

 simales prolongées d'un des groupes (r) on est conduit à ces résultats : 



» 1° L'équation (2) ne saurait admettre un groupe (F) si A ^ o; 



)> 2° Si A^o, l'équation doit être linéaire pour les groupes (F,), (F,), 



