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dépendant de trois paramètres. La demiquadrique (Qo), relative à ce 

 triédre, est entièrement définie par la condition de renfermer les axes des 

 cercles oscillateurs des lii^nes de courhure qui se croisent en O. 



» Quant à la demi-qnadriqne (Q,), elle renferme les droites qui, dans 

 les plans tangents aux surfaces (S), (S,), (S,), joignent les centres de 

 courbure géodésique des mêmes lignes de courbure ('). 



M Lorsqu'une des familles de Lamé dont se compose le système est 

 formée de surfaces parallèles, la quadrique (Q) n'est autre que le parabo- 

 loïde de M. Mannheim. Ce cas excepté, pour que la quadrique (Q) soit 

 un paraboloïde, il faut et il suffit que les rayons de courbure principaux 

 des surfaces (S), (S,), (S^), an point O, soient liés par la relation 



(A) R,„R,,R„,==R,„R„,R,,. 



» Ces généralités trouvent leur application dans la démonstration des 

 élégants théorèmes de M. Petot concernant les familles de Lamé com- 

 posées de surfaces égales ou homolhétiqnes (Comptes rendus, 1891 et i8f)4)- 



» Supposons d'abord qu'une famille de Lamé soit engendrée par une 

 surface (So) animée d'un mouvement hélicoïdal. Marquons sur cette sur- 

 face, prise dans une de ses positions, un point O et envisageons le trièdre T 

 correspondant. Parmi les déplacements infiniment petits de ce trièdre, se 

 trouve évidemment celui qui résulte du déplacement de (So). Par suite, If 

 complexe linéaire attaché au mouvement hélicoïdal dont est animée cette 

 surface renferme toutes les génératrices de la demi-qiiadrique (Qi), et 

 notamment la droite de jonction des centres de courbure géodésique 

 des lignes de courbure de (S^) qui se croisent en O. Ce point ayant été pris 

 arbitrairement sur (So), le jjremier théorème de M. Petot est démontré. 



» On établit avec la même facilité le second théorème de M. Petot, 

 relatif aux familles de Lamé formées des homothétiques d'une surface 

 donnée, par rapport à un point fixe (-). Pour les systèmes triplement 

 orthogonaux correspondants, la relation (A) est vérifiée et il en est de 

 même dans le cas plus général où le centre d'homothétie est mobile. 



(') Pour abréger, nous négligeons ici le cas, qui se U-aite aisément, où l'une au 

 moins des familles qui coiisliluent le système serait comjjosée de plans ou de sphères. 

 Ce n'est que dans ce cas exceptionnel (jire les axes des rotations de T n'engendrent 

 pas une demi-quadrique. 



(') Plus généralement, on peut énoncer une piopriété caractéristique des surfaces 

 qui engendrent une famille de Lamé en restant constamment semblables à elles-mêmes. 



