SÉANCE DU 22 JUIN igoS. i543 



» Le premier théorème de M. Petot permet d'établir simplement tous 

 les résultats obtenus jusqu'ici clans la recherche des surfaces qui, dans 

 p mouvements hélicoïdaux linéairement indépendants, engendrent une 

 famille de Lamé ('). Le nombre p peut recevoir une quelconque des six 

 valeurs i, 2, 3, 4. 5, 6; d'où six problèmes (que je numéroterai l, H, III, 

 IV, V, VI) comportant des solutions de moins en moins étendues. 



» Le problème I dépend, on le sait, d'une équation aux dérivées par- 

 tielles du troisième ordre, formée par M. Darboux. 



» Un périsphère étant donné, soient S le sommet du cône circonscrit à 

 la surface suivant une ligne de courbure circulaire variable et tc le plan 

 mené par S et par la caractéristique du plan de cette ligne de courbure. 

 Une solution du problème I est fournie par le périsphère pour lequel t: est 

 le plan polaire de S par rapport à un complexe linéaire. Ce périsphère, qui 

 déjiend d'une fonction arbitraire, admet comme cas particulier cehii qui 

 a été obtenu par M. Lucier] Lévy (Journal de Mathématiques pures et appli- 

 quées, 1892). 



» En ce qui concerne le problème II, quelques solutions ont été indi- 

 quées par MM. Petot, Catalan et L. Lévy, Adam, Cosserat. A ces solutions 

 nous ajouterons les suivantes : 



» 1° La développable dont l'arête de rebroussement est telle que ses 

 normales principales appartiennent à ime congruence linéaire. Cette 

 courbe a été déterminée par M. Hatzidakis. 



M 2° Le périsphère signalé plus haut et particularisé par la condition 

 que S décrive une droite. 



» Le problème II, pris dans toute sa généralité, n'a pas encore été 

 résolu, mais on peut traiter complètement le cas où les deux mouvements 

 hélicoïdaux se réduisent à des rotations autour d'axes qui se coupent. 



» Soient TU le plan de ces axes et O leur point d'intersection (situé à 

 distance finie ou infinie). Les surfaces répondant à la question sont : 1° les 

 plans et les sphères; 2° les cônes de sommet O; 3° les cônes de révolution 

 dont les sommets sont situés dans le plan 77 et dont les axes sont perpendi- 

 culaires à ce plan; 4° 'es cyclides de Dupin telles que les droites par 

 lesquelles passent les plans des lignes de courbure soient situées dans le 

 |)lan T.. 



» Grâce au premier théorème de M. Petot, nous avons pu résoudre com- 



(') Il a déjà été utilisé par M. I^etot lui-même {loc. cit.) et par M. E. Cosserat 



{ConipUs rendus, 1897). 



