ibSa ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur f intégration des séries. Noie de 

 M. W.-H. YouNG, présentée par M. Picard. 



i< Considérons une série infinie de fonctions continues 



dont la somme est une fonction continue. On distingue, comme l'on sait, 

 deux sortes de points de convergence non-uniforme : 



)) 1° Les points dans le voisinage desquels R„ (a-) peut augmenter au delà 

 de toute limite lorsque x et n varient d'une manière convenable; M. Os- 

 good ( ' ) appelle ces points points X ; 



» 2" Les points dans le voisinage desquels R„(a;) reste inférieur à une 

 limite finie. 



.. D'ailleurs, lorsque dans un intervalle considéré, il n'y a pas de points X, 

 ou que leur ensemble est dénombrable, on sait (-) que l'on peut intégrer 

 la série terme à terme et obtenir une série dont la somme est égale kj(x) 

 dans l'intervalle considéré. 



» Je me propose d'établir ici une propriété nouvelle, relative à l'inté- 

 gration de ces séries; à savoir : 



» Si l'on intégre terme à terme la série (i), et si la série obtenue est égale 

 à l'intégrale du premier membre dans un certain intervalle, les points de cet 

 intervalle où cette dernière série n'est pas uniformément convergente, s' il y en a, 

 se trouvent parmi les points X de la série ( i ). 



» En particulier, si la série (i) n'a pas de points X, la série intégrée sera 

 uniformément convergente dans tout l'intervalle. 



» A cet effet, considérons la série obtenue en intégrant ternie à ternie la 

 série (i), depuis une valeur fixe a7„ comprise dans l'intervalle jusqu'à une 

 valeur a; variable dans le même intervalle, et appelons u^(x), u.^{x), ... 

 les termes de la série obtenue. Cette série pourra s'écrire 



f{x) = u^{x) -+- u^(x) + . . ., 



(') Voir OsGOOU, Ain. Journal of iMath., l. XIX, 1897. 



(-) Cependant, dans la démonstration qui suit, nous supposons seulement ([iie la 

 somme iii{-x) -\- ti.,{.r) +. . . est une fonction continue. 



