6 Leopold Gegenbauer. 



Diese Formel könnte man übrigens auch leicht aus der Gleichung 12) ableiten. Wird in dieser Relation n 

 durch [— I ersetzt, mit 11} (x) mnltiplicirt und von £=\ bis x — n summirt, so entsteht die Gleichung: 



oder : 



!:«([7])(Z'''^"->)=""«- 



Aus der Gleichung: 



folgt aber sofort: 



{nm^y L^ ry 



also: 



19) 2^fx^VV) = l, 



711, U^l 



V 



und daher ergibt sich wieder die Gleichung 17), aus welcher der folgende arithmetische Satz folgt: 



Die Summe der Anzahlen derjenigen ganzen Salden, welche keinen quadratischen Factor enthalten und 



beziehungsweise -j-; 9" "~" nicht überschreiten, ist gleich der Summe der Anzahlen der Zerlegungen aller 



ganzen Zahlen von 1 bis ;t in zwei zu einander relativ prime Zahlen. 

 Ein Corollar dieses Satzes ist das Theorem: 

 Die Summe der Anzalden derjenigen ganzen Zahlen, welche keinen quadratischen Divisor besitzen und 



beziehungsweise — , 7^ , . • ■ , — nicht übertreffen, ist stets ungerade. 



Man hat z. B. für ;/=20: 



[^] = 20, 10, 6, 5, 4, 8, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 



a([^]) = 13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 



und da die Summe der letzten Zahlen 53 ist, so sieht man, dass sich alle Zahlen von 1 bis 20 incl. auf 53 

 verschiedene Arten in zwei zu einander relativ prime Zahlen zerlegen lassen. 



Setzt man in der Gleichung 12) für n : — , nmltiplicirt mit ij.{x) und summirt von ,r= 1 bis .v=n, so 

 erh<ält man: 



also: 



Z^OG-c'.^'- 



