Arithmetisch Theoreme. 



Nim ist aber: 



yi fx(M) _ C(2s) 



und daher: 



20) 2^ (..(,/,) =/(r). 



Demnach entsteht die Relation: 



21) 5 -[7l^'"-'=^- 



,=i 



Diese Gleichung liefert das Theorem : 



Bestimmt mau die Anzahlen jener ganzen Zahlen, welelie durch kein Quadrat (ausser 1) theilbar sind und 



beziehimgsweise die Brüche —,—,...,— nicht übertreifen, so ist die Summe derjenigen, welche einem aus 



einer geraden Anzahl von Primzahlen zusammengesetzten Nenner entsprechen, um 1 grösser, als die Summe 

 der übrigen. 



Für H^20 ist z. B. die erste Summe 27, die zweite 26. 

 Wird in der bekannten Formel : 



22) y^\*^\Mx)=Q{n) 



für w: I — 1 geschrieben, sodann mit ,'^^(^) multiidicirt und von ;y=l bis v/=:« suniniirt, so ergibt sich die 

 Gleichung: 



V=n x,y=n 



='I:[7](E^'"'«(7) 



Da min : 



y i>.\n)l{m) _-^ 



ist, so hat man: 



23) ]]l{^)i.\d)=0 



a 

 für r > 1 und : 



24) Z^©'^'W = ^ 



d 



für r=l. 



Die letzte Formel verwandelt sich daher in die folgende von Herrn Bugajef mitgetheilte Relation: 



25) IJ (?([^]),.^(y)=:«. 



Aus dieser Gleichung folgt das Theorem : 



