12 Leopold Gegenbauer. 



j:=2ii 



50) y ' X {X) w (rc) z= A (2«) - 2A («) 



( -1 



51) Jl'x" =P,,,(2«)-2P.,,(«.) 



a!=l 



52) Y^'l{x)^,{x) =p,,2(2w)-2p,,,(M) 



x = l 



x=2n 



53) Y^ ' ?.{x)I\^,{x)= Kx,.(2«.)-2P„,,(«) 



= Ö3(2«,)— 255(«) 

 Setzt man in den Formeln 40) und 51) speciell t = 1, so erhält man: 



X=p7l 



57) ^'^.....^xa;' = w, (p*) -^ qf , («) 



x=2?i 



58) ^'a;' = 'P,(2>?0 -2'P,(w) 



x=t 



Die Formeln 36) und 47) für x= 1, 48), 54) für ß = 2, 58) für x = 0, 1 hat schon Herr E. Gesa ro mit- 

 getheilt. 



Von den in den obigen Gleichungen enthaltenen arithmetischen Theoremen mögen die folgenden beson- 

 ders erwähnt werden : 



Die Anzahl der in dem Intervalle w + l . . .2« enthaltenen durch kein Quadrat theilbaren Zahlen übertrifft 

 die Anzahl der in dem Intervalle 1. . .« enthaltenen Zahlen derselben Beschaffenheit um eben so viel, :ils 

 die Anzahl der aus einer geraden Anzahl von verschiedeneu Primfactoren zusammengesetzten Zahlen x, für 



welche — ^-l ungerade ist, grösser ist, als die Anzahl der übrigen die eben genannte Bedingung erfül- 

 lenden Zahlen. 



Bestimmt mau für jede der Zahlen, für welche [^—1 ungerade ist, die Anzahl aller sie nicht übertreffen- 

 den Zahlen, welche zu ihr relativ prim sind, so ist die Summe dieser Anzahlen gleich w*. 



Diejenigen Zahlen x, für welche [-^1 ungerade ist, lassen sich eben so oft in zwei zu einander relativ 



prime Zahlen zerlegen, als die Anzahl der Divisoren der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen von der 

 Anzahl der Divisoren der Quadrate der folgenden n Zahlen übertreffen wird. 



Die Summe der (T)c)ten Potenzen jener Zahlen x, für welche [ — 1 ungerade ist, ist gleich der Zahl, um 



welche die Summe der xten Potenzen jener Divisoren der ersten n natürlichen Zahlen, welche rte Potenzen 



