Arithmetische Theoreme. 13 



sind, kleiner ist, als die Summe der >;ten Potenzen derjenigen Divisoren der folgenden n Zahlen, welche rte 

 Potenzen sind. 



Die Summe der xten Potenzen derjenigen Zahlen x, für welclie T— 1 ungerade ist, ist gleich der Zahl, 



um welche die Summe der xten Potenzen der Divisoren der ersten n natürlichen Zahlen von der Summe der 

 xten Potenzen der Divisoren der folgenden n Zahlen übertroifen wird. 



Diejenigen Zahlen a;, für welche \ — 1 ungerade ist, können so oft als Producte von ß — 1 Zahlen dar- 

 gestellt werden, als die Zahl beträgt, um welclie die ersten n natürlichen Zahlen sich weniger oft als Pro- 

 ducte von j3 Factoren darstellen lassen, als die folgenden n Zahlen. 



Die Anzahl der Divisoren der Quadrate derjenigen Zahlen x, für welche \—\ ungerade ist, ist gleich 



der Zahl, um welche die Summe der Quadrate der Anzahlen der Divisoren der ersten n natürlichen Zahlen 



kleiner ist, als die Summe der Quadrate der Anzahlen der Divisoren der folgenden n Zahlen. 



9., 

 Es gibt so viele, durch kein Quadrat theilbare Zahlen ,r, für welche \—\ ungerade ist, als die Differenz 



aus der Anzahl der Zerlegungen der ersten n natürlichen Zahlen in zwei zu einander relativ prime Zahlen 

 und der erwähnten Anzahl für die folgenden n Zahlen beträgt. 



Um zu anderen arithmetischen Theoremen zu gelangen, setze ich in der Formel: 



X=l x:=i jr=l 



60) >^ = [^ji]='■ 



Alsdann wird: 



und daher: 



Aus GO) folgt aber: 

 und desshalb hat man auch: 





2ff«<a<2ff^ + 4cr+2, 



y.<2 



Og(2x+l)cr + x + £, 



oder, weil s. niemals grösser als 2a werden kann: 



0^2>c + 8. 



Es kann demnach /. nur einen der drei Werthe — 1, 0, +1 haben. 

 Ist x^— 1, so hat man; 



a + (T £ — 1 



und da in diesem Falle e nicht gleich Null sein kann, weil sonst: 



[a\ — 2cr^-5— 1 



wäre, so ist: 



rcc+a 





