Arithmetische Theoreme. 17 



entlialten iiiul von der Form 4/- oder 4/-f-.'5 sind, vou der Summe aus der Anzahl der übrigen grössten "-anzen 

 Zahlen und dem Ausdrucke 



übertroifen wird. 



Die doppelte Summe derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche grösser 



als 2[. /|-J -1 sind, vermehrt um ihre Anzahl ist um [ ii + lj [v /•^] -2r-; kleiner, als die doppelte 



Summe derjenigen Trigonalzahlen, deren Ordnungszahlen durch die grössten ganzen Zahlen angegeben 

 werden, welche in den Gliedern der Keihe: 



n + 

 n + 1 n + 2 rt+3 



[y/S 



) a '••■' 



4 ' 6 



[v/t] 



enthalten sind. 



Die vierfache Summe derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche grösser 



■ 1 sind, übertriift ihre vierfache Anzahl um eben so viel, als der Ausdruck 



»>» ^ [y|] 



ißH^lh^U^' 



von der Summe der Quadrate derjenigen Zahlen übertroifen wird, welche man erhält, wenn man vou den 

 grössten ganzen Zahlen, die in den Gliedern der Reihe: 



n + l n + 2 n + 3 Ly 9 J 



enthalten sind, 2 oder 1 snbtrahirt, je nachdem die betreffende Zahl ungerade oder gerade ist. 



Man sieht sofort, dass die Anzahlen derjenigen Zahlen, für welche r^—l ist, eine arithmetische Reilie 

 mit dem Anfangsgliede 2 und der Differenz 1 bilden, während die Anzahlen jener Zahlen, für welche r, = 

 ist, eine arithmetische Reihe mit dem Anfangsgliede 3 und der Differenz 3 bilden. 



Um zu neuen Sätzen zu gelangen, betrachte icli zunächst die Summe: 





Es sei: 



tv/: 



Wß-'^l^^ 



a. 



ft/i'+P 



■.'1 = 



B. 



Die in der Summe: 



Denkschriften der mathem.-naturw. Gl. XLLX. Bd. 



x=y,-)-l 



2 [\/^-p]^(^) 



