42 Leopold Gegenbauer. 



Aus diesen Gleichungen ergeben sich folgende Theoreme : 

 Zerlegt man jede der Grössen : 



In In .In in 



y i'\j2'sj3'-' sji; 



in eine ganze Zahl und einen i)ositiven echten Bruch, so nähert .sich das arithmetische Mittel der giiissteu 

 ganzen Zahlen, welche in den mit der ganzen Zahl Ä multiplicirten echten Brüchen enthalten sind, mit wach- 

 sendem n dem Ausdrucke : 



Zerlegt man jede der Grössen: 



in eine ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so ist für sehr grosse » das arithmetische Mittel der 

 grössten ganzen Zahlen, welche in den mit der ganzen Zahl Ä multiplicirten echten Brüchen enthalten sind, 

 gleich dem Ausdrucke: 



(2»y^ >(>■.-. -1) _,Jf\^,_, 



Zerlegt man jede der Grössen : 



1 ' \/2 ' \/3 '■•■' Sj n 



in eine ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so nähert sich das arithmetische Mittel der Producte aus 

 den grössten ganzen Zahlen, welche in den mit der ganzen Zahl /, multiplicirten echten Brüchen enthalten 

 sind, und dem jeweiligen Divisor von n mit wachsendem n dem Ausdrucke : 



n 



x=\—i 



(2;r)^-5,X(T— '-!) 1 A2, V 1 



4r(2<7+l) 2\, Z-i X 



(-1 



-A+1 



Zerlegt man jede der Grössen: 



1=1 



T' \2' V3"'---' Sjn 



in eine ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so nähert sich mit wachsendem ti das arithmetische 

 Mittel der Producte aus den grössten ganzen Zahlen, welche in den mit der ganzen Zahl X multiplicirten 

 echten Brüchen enthalten sind, und dem Cubus des jeweiligen Divisors von n dem Ausdrucke : 



M 8r(4a+l) 4l Zj x'^ 



8r(4s+l) 



Bezeichnet man mit Bx( — , — , ^- ") <^l^ie Summe der xten Potenzen derjenigen Wertlie von x, für welche 

 »V,^ zwischen — und — -r — liegt, so dass also -Bof~? T' ^ — ) '^^® Anzahl der in dem genannten Intervalle 



/ 1 V V —I- 1\ 



befiudlicheu Brüche r^r^c ist, und mit BU—^ — , ^ — ) die Summe der xten Potenzen der eben genannten um 

 eine Einheit verminderten Grössen, so kann mau die obigen G-leichungen auch in folgender Form schreiben: 



