Asymptotische Gesetze det' Zahlentheorie. 47 



Den speciellen Fall r ■= 2 dieser Formel habe ich unlängst mitgetheilt. 

 Aus der Gleichung 59) folgt der arithmetische Satz: 



Dividirt man eine Zahl ?i durch alle nicht grösseren rten Potenzen ganzer Zahlen und versieht die bei 

 diesen Divisionen auftretenden Quotienten mit dem positiven oder negativen Vorzeichen, je nachdem die rte 

 Wurzel des Divisors aus einer geraden oder ungeraden Anzahl von verschiedeneu Primzahlen zusammen- 

 gesetzt ist, so ist die Summe der so entstehenden Zahlen gleich der Anzahl derjenigen Zahlen, weiche nicht 

 grösser als n und durch keine rte Potenz (ausser 1) theilbar sind. 



Aus der Gleichung 59) ergibt sich ferner: 



60) I; ,,.(,) =,V1^_A,, 



x=i x=l 



wo : 





==[;'-]+' '=' 



ist. 



Da nun: 



=oo 



v"Ä <y"i< 4^ 



Z_^ X'' 



y Bx!J.{x) < \Jn 

 ist, so hat man : 



61) |aJ<(i+cO-))«~- 



oder einfacher, wenn auch weniger genau: 



5 — 



62) \^A<J''''- 



Aus der Gleichung 60) folgt: 



n CU-) 



lim,. 



y ?^2'- {^) 



6^) ■ ,. t'x _2r(2»-+i) 



lim„ 



{2KfBr 



Der .specielle Fall /■ = 1 der Gleichung 64) wurde schon von Dirichlet, Bugajef und Cesaro ab- 

 geleitet. 



Aus diesen Formeln ergeben sich die Theoreme : 



Unter den ganzen Zahlen von 1 bis n gibt es j — solche, welche durch keine /-te Potenz (ausser l) theil- 



bar sind. 



