Asymptotische Gesetze der ZdJdeiitheorie. 55 



102) 



103) 



104) — 



(r(x + l) = r,(x, + l)). 



Die Formeln 100)— 102) liat schon Herr E. Cesaro, die Formel 103) Herr Borger aufgestellt. 



Von den in diesen Formeln enthaltenen Theoremen mögen folgende besonders hervorgehoben werden : 



Die Summe der reciproken xten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche rte Potenzen sind, ist 

 im Mittel gleich dem Ausdrucke 'C{z\y.+ \)\. 



Die Summe der reciproken (2r — liten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche rte Potenzen 



sind, ist im Mittel gleich dem Ausdrucke ^,.'':. ^. 



' "^ 21 (2Tr+l) 



Die Summe der reciproken xten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zaid, welche (2r)te Potenzen sind, 

 ist im Mittel gleich dem Ausdrucke -r-; — ^— ^\'' , , 



^ 2r(2T(xH-i) +1) 



TT* 



Die Summe der reciproken quadratischen Divisoren einer Zahl beträgt im Mittel r 



_« 

 Die Summe der reciproken Quadrate der quadratischen Divisoren einer ganzen Zahl beträgt im Mittel -^—. 



_s 

 Die Summe der reciproken Guben der quadratischen Divisoren einer ganzen Zahl beträgt im Mittel qj^- 



Die Summe der reciproken biquadratischen Divisoren einer ganzen Zahl beträgt im Mittel „ . „ . 



Die Summe der reciproken cubischen Divisoren einer ganzen Zahl beträgt im Mittel ^-pr-. 

 Aus der von mir früher mitgetheilten Formel: 



./=i .1=1 



folgt ferner: 



'/=n 



wo: 



ist. 



Man hat also : 



o ,_ 



l^'sK^-v"« 





106) f, ''^'' 6 



hin,, 





[y])"'^» 



ü 



