Asymptol ische Gesetze der Zahlenfheorle. - 63 



Man hat ferner : 



Nun ist aber: 



=Sl-](Z[x]^^"' 



]][j]Kd) = f{r,n) 



WO '^f/'^ M) die Anzahl der Zahlen ist, welche nicht grösser als r und zu n relativ prim sind. 

 Es ist also : 



152) V[^jK..»)=Vw(f^])fl]K.). 



x=i x=l 



Aus dieser Gleichung folgt : 



X=i X=i .1 = 1 



und daher hat man: 



153) ^ [^J y Cx, «) = 5" llo8'« + 26'-lS -A„ , 



wo ; 



x=i X=I x=l .c^l 



ist, aus welcher Gleichung folgt: 



2 2 3 



154) |A,J<2«.(log«y+«log«Y5C+ ^) +21og«+2C(;2C'-])«, + 2(26'— 1)+ ^«T. 



Aus der Formel 153) ergibt sich die Gleichung: 



X=:tl 



155, Zß^^''"'^ g 



Man hat daher folgendes Theorem : 



Dividirt mau die Zahl n durch alle nicht grösseren gan/-en Zahlen und raultiplicirt jeden Quotienten mit 

 der Anzahl derjenigen Zahlen, welche zu ii relativ prim und nicht grösser als der betreffende Divisor sind, so 

 ist für sehr grosse n das arithmetische Mittel der so entstehenden Producte gleich dem Ausdruclce: 



~ {logH+2C-lS . 



Bezeichnet man mit x,.(^,r) die Summe der mteu Pi)tenzen der ungeraden Divisoren von x, so hat man 

 bekanntlich : 



