Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 6 5 



Die Summe der reeiproken Guben der uugeniden Divisoren einer Zahl beträgt im Mittel: -^■ 



Die Summe der reeiproken fünften Potenzen der ungeraden Divisoren einer Zahl beträgt im Mittel: -q^tt- 



Das dritte von diesen Theoremen hat schon Herr E. Cesaro ausgesprochen. 



Zur Erledigung des specielleu Falles «/ ^ benütze ich die von mir aufgestellte (rleichung: („Arith- 

 metische Theoreme." Denkschriften der k. Akad. d. AVissensch., mathem.-naturw. Classe, 49. Bd., II. Abth., 

 p. 105 ff.) : 



,,+i-. 



- = [— J 



=)., 



'"'' ^ [2-^]=Z[s^J-Z[^]-»'' 



wo: 



ist. 



5M + 1-4-1 



Aus dieser Gleichung folgt: 



j;=;j x=2/., ^ _ x=). 



x„(a.) = « y 1 -äH|- V (.^.+ .',.) (0^s.,,.'.<l) 



oder: 



164) 



X:=/f 



■'^o^x) = j\\os't + '^C-l+\üs-2l +1\, , 



wo: 



_ (4:B + l)(\/S^+i+l) _^^, __, .,; .,„^y. 

 T-- y\j^^^, i,.j ^ J.J ^ j c <^ J. I 



ist. Eine einfache Rechnung zeigt, dass \\^ der Bedingung: 



16.5) I A' I < 1 + -I log 2 + ^ + 50s/«« + l±l' 



- V^8«+l— 3 4 



genügt. 



Aus der Gleichung 164) folgt: 



166) Z''"^-^^ 1 



lim„=oo '-=^^- = 2" {1"S « + 26'— 1 +log 2 f 



167) 



.r=/i-)-rj 



V 



y.„(X) 



1 



lim,,„=<^i^^i^ig = - {log « + 26'+log 2|. ('lim,,_ „o - = 0, lim,,,,^,^ V^f = 



168) Z ^-»^"'^ Z ^»^-"^ 



lim^,„=oo " " 't,'. = lim„=oo • 



\ne\ 



169) 



2^ ^-ol*^— V ^--o C^) 



j:=1 



lim,=oo — — ,,, "7.1 , =:r sloglO + 2C'— l+log^- 



loü-lO, 



Denkschrifteu dar matham.-naturw. Gl. XLIX. Bd . 



