AsympfoHschc Gesetze edr Zahlentheorie. 67 



SO haben die Zahlen im Intervalle n—r, +1 .. .n-^r, im Mittel eben so viele gerade Divisoren als die Zahlen 

 im Intervalle 1 ...\)ie\. 



Jede s-zifferige Zahl hat im Mittel: 



1 {slog 10+2C'-l-log 2+ i^'j 



gerade Divisoren. 

 Aus der Formel: 



Jr=1 X=l X=l 



folgt : 





i=i 1=1 



Wegen der bekannten Formel: 



■'S 



sin f2m arctang — j 



y (-1)-' _ . sm^.»,aretang-j ^|^|^j^ 

 ."r: 2.C— 1 ~4 ■*" 2m(l+~^Y' 



kann man diese Gleichung auch in folgender Form schreiben: 

 112) 



Zc-')-f5:^]=^-^. 



wo : 



x=). 



x=),, r^^i « sin ('2X, arctang —') 



A„ _ \ (-1 V^ ..- _ \ (-1) + — ^ ____^_^ 



ist, aus welcher Gleichung sofort die Beziehung: 



173) |A.,|<2Ä,+ 2^ 



oder einfacher: 



folgt. 



Die eben abgeleiteten Eelationen liefern sofort die Formel: 



n 4 



Beachtet man, dass die linke Seite der Gleichung 172) den Überschuss der Anzahl derjenigen Divisoren 

 aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche von der Form 4.s+l sind, über die Anzahl der übrigen ungeraden 

 Divisoren angibt, so erhält man die Theoreme : 



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