68 Leojwld Gegenbauer. 



Die Anzalil derjenigen Divii^oien einer Znlil, welche die Form 4.5+1 besitzen, übertrifft die Anzahl der 



Übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um — ■ 



4 



Die Anzahl der Darstellungen einer ganzen Zahl durch die binäre quadratische Form x^+ij^ beträgt im 



Mittel K. 



Heiläufig vier Fünftel (genauer — ) von den grössteu ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe: 



n + 1 M + 2 u + 3 2n 



enthalten sind, sind ungerade. 



Dividirt man eine grosse Zahl durch alle das Doppelte dieser Zahl nicht Übersteigenden geraden Zahlen, 



so ist beiläufig bei vier Fünfteln (genauer — ) dieser Divisionen entweder der Quotient gerade und gleichzeitig 



der zugehörige Bruchrest grösser als -^ , oder der Quotient ungerade und der zugehörige Bruchrest kleiner 



als — • 



Man kann 39 gegen 11 wetten, dass der bei der Division einer grossen Zahl durch eine das Doi)pelte 

 dieser Zahl nicht übertreffende gerade Zahl auftretende Quotient gerade und der zugehörige Bruchrest nicht 



kleiner als -^ , oder dass dieser Quotient ungerade und der zugehörige Bruchrest kleiner als — ist. 



Für n = 40 hat man z. B. : 



so dass ;ilso 32 von diesen grössten ganzen Zahlen ungerade untl nur 8 gerade sind. 

 Die ersten zwei von den angeführten Sätzen hat schon Herr E. Cesaro mitgetheilt. 

 Es ist ferner, wie man leicht findet: 



L 2 J (j— 1) (x—V) r=X| [x—i) [x—1) x=\, 



x=i x=l x=i 



wo: 



für ungerade y, hingegen: 



i?(t/) = l-(-l)^ 

 für gerade y ist. 



Da (--]) :; den Werth +1 hat, wenn 2x — 1 eine der Formen Ss+1, 8s + 3 besitzt, und den 

 Werth — 1 in allen übrigen Fällen, so ist die Summe auf der linken Seite der Gleichung 176) die Differenz 

 aus der Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche eine der Formen 8s4-l oder 

 8.S + besitzen, und der Anzahl der übrigen ungeraden Divisoren. 



Aus der letzten Gleichung folgt : 



L 2 J l,x—l) Ce— 2i r=l, n 



