Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 60 



wo: 



j;=X, u-lii..,— 21 x=l, 



VI , -•, i . \^ r,/r" + ^ 



x=l .c=l 



.. = _V(-:) ■ .,H-V.(f^])->,^A. 



ist. 



Beriicksiclitigt man die bekannte Formel : 



1 rK^-) ^^ *'^ •'■' *■' ^" 



— 7= arctang ^ " =x' + -5 ^ t' + tt + TT 



^2 1— a-^ 3 7 9 11 



so erhält man sofort: 



■ = [—1 



wo; 



178) l^il<5^i + (X;Z^ 



oder einfacher : 



14«— 10 5 



\/8n+l — 3 '^ 

 ist. 



Aus diesen Relationen folgt : 



180) 



liiii„=oo 



Vt,— 1) ' läi^^ij 



n 2\/2 



Man bat daber die Theoreme: 



Die Anzahl derjenigen Divisoren einer Zahl, welche eine der Formen Sa + I, 8.s + 3 besitzen, übertrifit 



die Anzahl der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um ;=. 



^ 2v/2 



Die Anzahl der Darstellungen einer Zahl durch die binäre quadratische Form x^+2iß ist im Mittel gleich 



dem Ausdrucke — ^W • 



v/2 



Jede ganze Zahl im Intervalle w — o + l . ..« + ';, wo: 



liiu,),„=oo — = 

 ' n 



limn,„=ooi 



\/n 



ist, besitzt im Mittel: 



l{logM+2C+log2+-4=j 



Divisoren von den Formen 8s+l, 8.S4-3 und: 



-{log, 



+ 2C+log 2- 



Divisoren von den Formen 8s— 1, 8s— 3. 



Jede s-zifFerige Zahl hat im Mittel : 



1 , , . T log 10. 



ljslogl0+2C-l + log2+^ + ^j 



Divisoren, welche eine der Formen 8y+l, 8r+3 besitzen, und: 



