70 Leopold Gegenbauer. 



ljslo8-10+2C-l+loo.2-_^= + !^} 



Divisoren von den Formen Sr — 1, 8r— 3. 



Beilänfig drei Zwanzigstel /genaner -^{\/2 1)] von den grösstcn ganzen Zahlen, welche in den Glie- 

 dern der Eeihe : 



w + 1 «+2 «+3 2w 



enthalten sind, sind einfachgerade. 



Beiläufig ein Zwanzigstel ('genauer 1 r(3 + \/2)) von den grössten ganzen Zahlen, welche in den 



Gliedern der Reihe: 



w+1 « + 2 «,+3 2n 



2 ' 4 ' 6 ' ■ ■ • ' 2« 

 enthalten sind, ist inehrfachgerade. 



Dividirt man eine grosse Zahl durcli alle, das Doppelte dieser Zahl nicht übersteigenden geraden Zahlen, 



so ist beiläufig bei einem Zwanzigstel [^genauer 1 — ^(3 + ^/2)^ dieser Divisionen entweder der Quotient 



mehrfachgerade (Null eingeschlossen) und der Bruchrest kleiner als — , oder es hat der Quotient die Form 



4s— 1 und der Bruchrest ist grösser als -^• 



Dividirt man eine grosse Zahl durch alle, das Doppelte dieser Zahl nicht übertreffenden geraden Zahlen, 

 so ist beiläufig bei drei Zwanzigsteln [genauer —{\/2 — l')\ dieser Divisionen entweder der Quotient von 



der Form 4s+2 und der Bruchrest kleiner als 3-, oder der Quotient von der Form 4s+l und der Bruchrest 



nicht kleiner als _. 



2 



Man kann 47 gegen 3 wetten, dass bei der Division einer grossen Zahl durch eine das Doppelte derselben 

 nicht übersteigende gerade Zahl, weder ein mehrfachgerader Quotient — Null eingeschlossen — und zugleich 



ein Bruchrest, welcher kleiner als — ist, noch ein Quotient von der Form 4s— 1 und ein Bruchest, der nicht 



unterhalb —liegt, auftritt. 



Man kann 83 gegen 17 wetten, dass bei der Division einer grossen Zahl durch eine das Doppelte der- 

 selben nicht übertreffende gerade Zahl weder ein Quotient von der Form 4.S-+-2 und gleichzeitig ein unterhalb 



■— liegender Bruchrest noch ein Quotient von der Form 4s+l und gleichzeitig ein Bruchrest, welcher nicht 



Li 



unterhalb -^ liegt, auftritt. 



Das zweite von diesen Theoremen hat schon Herr E. Cesaro ausgesprochen. 

 Man findet ferner die Relation: 



181) 'f (ll)H^.- [^-^j = f ,_:,[¥]-- f^-i,] . V ^,([^]) _, .,a,) 



wo: 



Ä, (z) - « 



ist, wenn: 



0^ d=a (mod. ß) 

 ist. 



