Asymptotiäclip, Gesetze der Zahlentheorie. 7 1 



Da (—1) den Weith +1 hat, wenn 2a;— 1 eine der Formen 12^+1, 12(jl + 3, 12/j.+o besitzt, 



und den Werth —1, wenn 2x- 1 eine der Formen 12ix+l, 12/J.+9, 12(;l+11 hat, so ist die Summe auf der 

 linken Seite der Gleichung 181) die DitFereuz aus der Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 

 1 bis ti, welche eine der Formen 12,u.+ l, 12fx+3, 12fji+5 besitzen, und der Anzahl der übrigen ungeraden 

 Divisoren. 



Aus der Gleichung 181) folgt: 



. = ["-±11 x=), [-]+»-' 



■"22 



wo: 



^.= yc-'>"' ■••-Z^.([^])-v.',w 



ist. 



Berücksichtigt man die Formel : 



•«ä) y(l!)[T]-t2^J=i?"-^'- 



/ 



x=i 



wo: 



184) |A',,|<7X.+ i 



oder einfacher : 



14« + 19 -'1 



ist. 



Ans diesen Relationen folgt : 



186) 





Man hat daher die Theoreme : 



Die Anzahl derjenigen Divisoren einer ganzen Zahl, welche eine der Formen 12fi.+l, 12,u. + 3, 12,u.+.'') 

 besitzen, übertrifft die Anzahl der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um j^- 

 Ist: 



limrj,„=oo— =0 



■'■; 



80 hat jede Zahl im Intervalle h— v, + 1. . .n + r, im Mittel: 



-jlog«+2C'+log2+ -g-f 



