Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 73 



Berücksichtigt man die Eelation : 

 2.T 1 1 , 2 , - 1 



— ^ + -^log(l+,i:«n- — arctang-j;4- -!^ai-ctang--— ^ H j^ !arctaiig(2.7; V^3)— arctang(2a; + \/3)} = 



3n/3 b ^ .-> o l—x' y;; 



_ .r^ r^ X* x^ ^' ._c^_^_^_^_^_^ ^ .»»^ x^ ^ ^ ^_ 

 "•"'■^ 2"^3"'^r"^5"'^6"~7 ~8 !t 10 U 12 "^ 13 "^ 14 "^ 15 "^ 16 "'' 17 "^ 18 "• 



so erhält man die Gleichung: 



,[nr]r/( -1 (log 2 / 5 



wo : 



190) • lA',3|<13v/«+-l= 



V " 

 ist. 



Aus diesen Formeln ergibt sich die Gleichung : 



1=71 ffZlll 



191) Aj L.cJ 5 1 log2 



^, L.tj 5 1 log 



f— 1 



Da (—1) " den Werth +1 hat, wenn x eine der Formen 12,a+l, 12,a+2, 12rj.+3, 12,^+4, 12fx+y, 

 12,o. + 6 besitzt, hingegen den Werth —1 hat, wenn .r einer der Zahlen 0, 7, 8, 9, 10, 11 nach dem Modul 12 

 congruent ist, so stellt die auf der linken Seite der Gleichung 189) stehende Summe den Überschuhs der 

 Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche eine der Formen 12,a+ 1, 12,o.+2, 12ij.+3, 

 12j(ji.+4, 12|x+5, 12,a+6 besitzen, über die Anzahl der übrigen Divisoren vor. 



Man hat daher die Theoreme ; 



Die Anzahl derjenigen Divisoren einer Zahl, welche eine der Formen 12fji+2, 12,a+4, 12;j.+6 besitzen, 



K \o°' 2 



übertrifift die Anzahl der übrigen geraden Divisoren im Mittel um j= H ^ — . 



" ^ 3v^3 ^ 



Ist: 



lim, „=oo — = 



lim^,„=oo 



^ = 0. 



so hat jede Zahl im Intervalle n—-n + 1 . . . «+'; im Mittel : 



l(log.+2C-_|log2+^ 

 Divisoren, welche nach dem Modul 12 einer der Zahlen 2, 4, 6 congruent sind, und : 



Divisoren, welche nach dem Modul 12 einer der Zahlen 0, 8, 10 congruent sind. 

 Jede s-zififerige Zahl hat im Mittel: 



Divisoren, welche nach dem Modul 12 einer der Zahlen 2, 4, 6 congruent sind, und: 



Denkschriften der malhem.-naturw.Cl. XLIX. Bd. 10 



