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Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 77 



L ^- \_n ^ (-1> 



Jn=00 ■ 



r^Jl_l AZLi£_ 

 L2a;— 1 J(2j:-1)'^' 



'« 2"-+M^(2r+l) 



wo die Grösse t,,. der rte Secanteiicoeffieicnt ist. 



Da die auf der linken Seite der Gleichung 199) stebende Summe den Überscbuss der Summe der reci- 

 proken rten Potenzen derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis ti, welche die Form 4s+l besitzen, 

 über die Summe der reciproken rten Potenzen der übrigen ungeraden Divisoren angibt, so hat mau die im 

 Wesentlichen schon von Herrn E. Cesaro aufgestellten Sätze: 



Die Summe der reciproken rten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die Form 4s+l 

 besitzen, übertrifft die Summe der reciproken rten Potenzen der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um: 



Die Summe der reciproken (2r')ten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die Form 4s-hl 

 besitzen, übertrifft die Summe der reciproken (2r)ten Potenzen der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um: 



22r+2p(-2r+l) 



Die Summe der reciproken Quadrate derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die Form 4.s + l besitzen, 



übertriift die Summe der reciproken Quadrate der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um — • 



Die Summe der reciproken Biquadrate derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die Form 4s+l besitzen, 



übertrifft die Summe der reciproken Biquadrate der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um • 



1536 



Die Summe der reciproken seclisten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die Form 4.s+l 

 besitzen, übertriff't die Summe der reciproken sechsten Potenzen der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um 



61 tt' 

 184320' 



Schreibt man in der Gleichung: 



■n ■ 



■w=i;[j>'(«' 



für«: [—1, multiplicirt mit fi,((/) und summirt bezüglich // von ;/ = 1 bis // = n, so erhält man: 





X=7l 



.-[7l,r»| 



?■'■ (y) 



=Z*-([7])^'w 



Aus dieser Gleichung folgt: 



Zj KlyiF^^' (x+ijC(2)c+2) ^ ^« 



