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worden, und zwar cinfacli desslialb, weil es zn ganz unübersehbaren Rechnungen führen würde. Man wäldte 

 daher lieber den Umweg, diese Functionen zunächst nach anderen Methoden in Reihen nach den Cosinussen 

 und Sinussen der excentrisclicn Anomalie zu entwickeln, dann diese Cosinusse und Sinusse mit Hilfe unseres 

 Lehrsatzes in Functionen der mittleren Anomalie umzusetzen, und nun erst die so erhaltenen Wertbc in die 

 früheren Reihen zu substituiren. 



Es ist mir nun gelungen, durch eine zweckmässige Gruppirung der Ausdrücke, welche bei einer wirk- 

 lichen Ausführung der im Lagrange'schen Lehrsatze blos angezeigten Differentiationen auftreten, nicht nur die 

 erforderlichen Operationen in expliciter Form übersichtlich darzustellen, sondern auch die ganze Gliedermasse 

 in ein Conglomerat von Poteuzrciiien zu zerlegen, und den nach der Snmmirung dieser resultirenden Ausdruck, 

 wieder so umzustellen, dass er abermals in eine Summe von Potenzreilien übergeht, u. s. w. Die auf diese 

 Art gewonnenen Reihen besitzen daher die Eigenthümlichkeit, dass jedes weitere Glied, welches man berück 

 sicbtigct, auch noch einen Theil der Glieder höherer Ordnung mitnimmt, wodurch der Bau des Restes dieser 

 letzteren sich successive immer mehr vereinfacht, und die Convergenz der Entwickelung nicht selten eine sehr 

 namhafte Steigerung erfährt. Durch diesen Umstand untersciieideu sich auch die hier entwickelten Reihen 

 sehr vortheilhaft von den meisten Formeln, die man zur näherungsweisen Berechnung von Functionen anwen- 

 det, hei denen in der Regel blos eine bestimmte Anzahl von Anfangsgliedern genau wiedergegeben wird, 

 während der Gang der Glieder höherer Ordnung ein ganz verschiedener i.st. Diese Entwickelungen sind 

 daher auch sehr geeignet, einfache und interessante Näherungsformeln zur Berechnung der hierhergeliörigen 

 Functionen zu liefern. 



Um an einem speciellen Beispiele die Brauchbarkeit meiner Formeln nachzuweisen, habe ich sie auf die 

 schon so vielfach bearbeitete Keppler'sche Gleichung und die damit im Zusammenhange stehenden Pro- 

 bleme augewendet, und glaube damit gezeigt zu haben, dass durch die vorliegenden Entwickelungen die Ein- 

 gangs hervorgehobenen Schwierigkeiten, welche sich bisher einer allgemeineren Anwendung des I^agrange'- 

 scheu Theorems entgegenstellten, — in vielen Fällen wenigstens — wesentlich vermindert worden sind. Ferner 

 habe ich damit, wie mir scheint, die erste praktisch brauchbare directe Lösung der Aufgabe geliefert, 

 in einer massig excentrischcn elUptischen Bahn, aus der mittleren Anomalie nicht nur die excentrische, 

 sondern auch mit Umgehung derselben unmittelbar die wahre Anomalie und den Radius vector oder 

 dessen Logarithmus zu finden. 



Zum Schlüsse habe ich noch ein paar einfache Näherungswerthe für die eben genannten Functionen 

 angeführt, die aus meinen Formeln fliesseu. 



§. 2. 



Der Lagrange'sche Reversionssatz lautet bekanntlich: 



wenn z bestinnnt ist durcli die Gleichung: 



z-x+<xf{^ 2) 



Wir werden im Folgenden statt ij^(j;), y'(.r), y"(;c)...; f(.r),f'(.f'),f'\.r)... zur Vereinfachung blos schrei- 



il" fix) 

 ben: y, y', o;" ...;/■, /", /''•••; ebenso werden wir uns für , der allgemein üblichen Bezeichnung T)"/' 



bedienen. Dies \()rausgesetzt, ist die Form des allgemeinen Gliedes, abgesehen von dem Factor ip- : 



Führt man hier die angezeigten Differentiationen, welche allgemein die Form T)'/'' haben, successive 

 ans, so erhält man nach und nacii: 



