Enhoickelungen zum Lagrange 'sehen Reversionstheorem, etc. 137 



so wird: 



Miiltiplicirt man diese Gleichung mit a"-^^ und substituivt man dies dann in die Gleiehnng 1), so erhält 

 das Resultat die Form: 



y(0) = y+aX, (1+ «/■'+ aY"+ «Y'^+ «*/■'*+ «5/-'^+ «6/'«+aY"-^-...)^- 

 ^-«*X^(l^-2«/•'^- HaY'^+ 4aY'*+ 5aY'*+ 6aY'' + 7aß/'8+ ...) + 

 + «'ir3(l + 3«/'+ 6aY''^+10ay=*+15«V'* + 21«Y''+ •••) + 



+ ««Zg(l+6af + 21«Y"+---) + 



+ «"X,(l + 7af+...W, 



d. h. 



Sucht man blos 0, d. h. ist f{z) =: ^;, also f =1 .r, y»' =: 1, f" = ijj'" = y" ^z ... =0, so schrumpfen die 

 X auf ihre letzten Glieder zusammen, und man hat einfach: 



oder explicit geschrieben: 



+ ^f {fr+m"f") (iZ^)'+ ^r(/V"+ 30f [3f'Y''+2f' "'J +450f'3) (^^ 



9) 



9*) 



Die Anwendung der hier entwickelten Formeln bietet besonders dann grosse Vortheile dar, wenn man 

 mehrere Functionen von z zu suchen hat, weil dafür ein Theil der Arbeit, die Berechnung der i<^-Functioneu, 

 (Gleichungssystem I) nur einmal durchgeführt zu werden braucht. 



Die X lassen sich wohl ohne Schwierigkeit aus dem Systeme der Gleichungen I und 11 zusammensetzen : 

 für die X mit höherem Index ist es indess immerhin eine ziemlich zeitraubende Arbeit. Sie mögen daher hier, 

 in expliciter Form gegeben, um so mehr einen Platz finden, als wir sie in dieser für die folgenden Untersu- 

 chungen benöthigen. 



III 



^^=5!^'?'+2!2!^'^"'"+ 3!T!^*^'"?"+ 4! /^'(/T + ir^)?'- 



DdüLschriftea der inu,tk6Ui.-iiatur\v. Gl. XLIX. Bd. J 8 



