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begebt mau nur einen Fehler siebenter Ordnung. Es ist desshalb auch noch mit diesen Vereinfachungen: 

 iDiz) =z tp(x+rj) genau bis auf Grössen dritter Ordnung einschliesslich ) 



f{z) — f(x+v + k') „ „ „ „ sechster „ „ ) 



Der ganze Unterschied besteht darin, dass jetzt ein etwas geringerer Theil der Glieder höherer Ordnung 

 mitgenommen wird, als wenn man die ursprüngliche Form beibehält. 



Aus dieser Darstellung erhellt wohl ohne weiteres, dass die Gleichungen 15) und 15*) zur näherungsweisen 

 Berechnung der Functionen ganz vorzügliche Hilfsmittel darbieten werden. Es fällt übrigens hierbei, ausser der 

 raschen Abnaiime der suecessiven Reihenglieder noch das bereits in der Einleitung hervorgehobene Moment in 

 die Wagschale, dass man, wenn mau beim Gliede «-Ordnung stehen bleibt, nebst allen Gliedern einschliesslich 

 der «. Ordnung, auch noch einen Theil der Glieder höherer Ordnungen mitnimmt und in Folge dessen de.iv ü,hi^ig 

 bleibende Rest derselben im Allgemeinen einen geringereu Betrag erreicht. Von welcher Tragweite dies in 

 spcciellen Fällen werden kann, wird uns gleich das folgende Beispiel zeigen. 



Schliesslich sei noch erwähnt, dass auch die Grössen L,, L^, L^, . . .; K^, K^, K.^, . . ., welche in den 

 Gleichungen 12*) und 14) und den aus ihnen abgeleiteten auftreten, von der Form f der zu suchenden Function 

 unabhängig sind. Es gilt daher auch für diese Gleichungen die bei Gleichung 9*) gemachte Bemerkung. 



§.6. 



Um die Einfachheit der soeben gewonnenen Formeln an einem concreten Beispiele nachzuweisen, wählen 

 wir die Keppler'sche Gleichung: 



E = lf+£sinE 16) 



und werden nacheinander als Functionen der mittleren Anomalie darstellen.: 



£...— = 1— cos E 



a 



T 



C. . . log— = log(l — £ cos E) 

 et 



D...(; = 2arctg( /i±ftg- 



Wir haben hier zu setzen /"=: sin M, also: 



sin itf=/- —f" =f"' = ... 

 cos M = /■' = /•" =/" =... 



- sin M = /■" = /'"' = /•" = . . . 



— cos M = /•'" = /■"' = f" =... 

 Damit werden die i^-Functionen (System I): 



FW = —sin M''+K 



Fi}'^ — — sin M!" cosM. 



i^f)= +(3yt+l) sin ilf*+'. 



i^w = +(10/fc+l) sin W cos M. ) XH 



i^j.« = -(15P+ 1) sin M"+* + 10k sin M'-' cos'^ M. 



if^i) — _^105P— 49Ä;+1) sin M'-' cos M. 



F^' = +(105P— 105P+63A;+1) sinj¥'' + '— 5GM5Ä;— 4) sinM"-' coa^M. 



