Entwickelungen zkw Lagrange'schen Feversionstheorem, etc. 163 



+ r^ ctgiU(907c:'— 1535|9+2323cr"— 3271c''''+ . . .) + 



^ctgiH3(84«— 33£"+83|»3— . . .)J_ 

 -[2^ (414f-603C"+827C»«-. . .)- 



— ^ ctgi¥^3568£»— 92SU"H-18866r*— . . .)+ ^ etgil/\?»^ . .)] + 



+ 



Fuhrt man nun hierin die leicht ersichtlichen Summationen ans und geht man dabei zugleich von den 

 natürlichen auf künstliche Logarithmen mit dem Modul m über, so erh.ält man: 



8 4i4£»+639c"'+260C'* 



+ 



ctgil/(^.j 



2835' (!+£¥ 



1 f» 1 )lP+9i' 



■■) 



1 907f'+118ß|9+439C 



-— •)■ 



720 ■ (l + f)^ , 2^^ 



^^ U n-4-f2)«^48 (l+f^^^* -I-.. ;-i- 



^8 (1+D* 48 (1 + f) 



/ 1 f '* N 1 



Diese Gleichung Hesse sich jetzt wohl noch wesentlich reduciren; da sie jedoch im Grunde genommen 

 nur eine andere Form der Eutwickelung nach steigenden Potenzen von v vorstellt, wollen wir uns damit nicht 

 weiter aufhalten. Ähnliche Bemerkungen Hessen sich auch an die Gleichung 22) knüpfen. 



Was endlich die Eutwickelung der wahren Anomalie betrifft, so sei: 



/v/l + £ E>, /sinEv/l- 

 D. . . . v=2 arctg ^ , tg — ) = arctg ( — 



vy 1117 * 2 / '* V cos E— £ 



Man hat jetzt y = 2 arctg ( ^ . ^ *S^) 2" setzen, und erhält damit: 



1 £ COSilf 



f'" =_y'[?ctgiW— 2f] 



f" =+»'[£+ 6f« Ctg Jf—6f] \ XXII 



f = + y'|f ctg Jf— 2(4— 3 ctg2 !/)£*— 36 ctgiWf +24t*] 



f = _r^'[^V30f ctgi¥— 30(2— 3 ctgili^iv^— 240 ctgMC*+ 120f ] 



f" = — ^'[fctgil/— 2(16— 15ctgi¥2)|2— 90(5ctgil/— ctgilf*)C'+120(4— 9ctgi¥*)f +1800ctgi¥|5. . .]' 



f"'~ + /[f4-126 ctgJ/|«— 42(13— 30 ctg i¥2)c='— 840(7 ctg.¥— 3 ctgJ/»)f*+ . • .] 



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