Entwichelungen zum Lagrange' sehen Bevei-sionsfheorem, etc. 165 



Wir haben also schliesslich, wenn wir wieder gleich nach Potenzen von ctg M ordnen : 



,_2 arctg f^^=^tg^; = .-arctg (__^^__ . = 



_^/I^7^r/ n 167 ,. 5519 1384H251 .,,. 



~ 1— £ cosiV L^^ '^ ■*" 12 ■ 72 " 1344 - 181440U " 



. ,,/l,, 11., 102., 130519.,,,, 28620439.,, n .„. 



-^^SnT=-lö"+l5 ^-1^4^ +1663200^ -•••^^/ ''' 



^ „,/13 ., 1027 ,„ 284887.,, 

 43 .... 2947 



^ V252- 2160" /^ J 



Zieht man es vor, die Mittelpunktsgleichuug zu berechnen, so erreicht ni;in dies, die halben Winkel bei- 

 behaltend, mit Hilfe der Kelation: 



„ , a/I+s J/n isinif 1, o * ? 

 2 arctg ^ . tg— , = J/+2 arctg , = J/+2 arctg , 



1 — £ cosM 

 Eechnet man aber lieber mit ganzen Winkeln, so würde die Abtrennung des Bogens M von 



arctg \^ 



*' cos i¥— £ 



auf einen ziemlich coniplicirten Ausdruck führen. Man bemerkt aber sofort, dass sich der Bogen 



arctg \-, 



^ cos M— £ 



von dem Bogen 



sinJkf 



arctg — — ^ M-{- arctg ? 



cosiW— £ 



nur um eine Grösse zweiter Ordnung in Bezug auf die Excentricität unterscheidet; trennen wir daher diesen 

 Bogen ab, so erhalten wir: 



sin.l/v/r^' ,, . sin.¥(cosJ/— £1(1— v/r^T^, 



arctg ~-, = M + arctg c — arctg ^ , = 



cos.y— £ " ■ icosM—s)^+sm^ M\/l—-J 



P cor M- 



^ M + arctg fc — arctg [ ■ 



-l + (l + ;-2)^l_,2 sinitf 



Die Reihe 22) hat ebenfalls genau dasselbe Bildungsgesetz wie die Reihen 18), 19) und 20) für die 

 excentrisehe Anomalie und den Radiusvector; sie ist aber zur Berechnung der wahren Anomalie nicht bequem. 



Schon die Berechnung des Gliedes 2 arctg ( . " tg— j oder des gleichgeltenden arctg :^ — ; — ist 



\' 1 - - 



ziemlich lästig. Diese Arbeit kann man sich indess nicht unerheblich erleichtern, wenn man bemerkt, dass 

 die interessante Beziehung stattfindet: 



^ sinJ/v/l— £« tg.¥ £sini¥ 



arctg ^ — - — = arctg °^_ h arctg ■ 



v/l—r« 



Die ganze weitere Reihe ist jedoch überdies mit dem Factor —-5: ^ multiiilicirt, was die Berechnung 



1 — £ cos M 



nach derselben, selbst unter Anwendung von Hilfstafeln, abermals erschwert. Man kann zwar ohne Mühe alles 



nach steigenden Potenzen von t entwickeln, allein es ändert dadurch die Reihe ihren Charakter. Vermöge der 



„ 1 , . ssinM . ■ ' 1- 



Bedeiituni;- von t =z- — r ist namlich: 



1 — s cos M 



