2 Vif tor Sersd inj. 



partiellen Differentialgleichiingen erster Ordnimg- ist dieses System stets bestimmt, indem es eben so viel 

 Gleichungen als Unbekannte enthält; bei Ditferentialgleichungen höherer Ordnung enthält es immer weniger 

 Gleichungen als Unbekannte, so dass einige der letzteren, so weit es sich um die Integration eben dieses 

 Systems handelt, unbestimmt verbleiben. 



Fuhrt man nach vollzogener Integration die Integrationsconstanten als neue Veränderliche ein, so verwan- 

 delt sich die Aufgabe in eiu Aggregat von Problemen, welche durch geeignete Wahl der unbestimmt geblie- 

 benen Grössen in Pfaff sehe Probleme verwandelt werden. Nachdem die Gleichungen, welche die Wahl der 

 unbestimmten Grössen bestimmen, abgeleitet und gezeigt worden ist, wie denselben Genüge geschieht, ist die 

 Aufgabe für erledigt anzusehen. 



Indem bezüglich der Einzelheiten der Untersuchungen wie natürlich auf die Abhandlung verwiesen 

 werden muss, ist noch zu bemerken, dass Beispiele nur insoferne aufgenommen wurden, als sie zur Erläu- 

 terung einzelner Stellen dienlich sein konnten, und zwar aus dem Grunde, weil einerseits die Auswahl geeig- 

 neter Beispiele noch beschränkt, und andererseits der Rechnungsapparat aucli bei einfach scheinenden 

 Beispielen in der Regel ein sehr grosser ist. 



Erster Abschnitt. 



Die lutegrabilitätsbedinguiigen. 

 1. 



•Eiu Ausdruck von der Form: 



dz = z^ dx^ +z^ (l.i\ + . . .-\-z,^ <lz,j , (1) 



— in welchem z^, z^,. . .z^ gegebene Functionen von .r, , r^,. . .,r, und ^ bedeuten — wird unbeschränkt inte- 

 grabel genannt, wenn derselbe durch eine einzige Beziehung in endlichen Dimensionen zwischen den Grössen 

 x^, x^,. . .Xj und z integrirt werden kann. Die Bedingung hiefür ist, wie bekannt, dass alle Gleichungen, 

 welche aus der allgemeinen Formel: 



f>^r , ^Zr ^Z, ^Z, ^ZZr\ /^^,^ . s n / ON 



durch Specialisirung von r unds in 1,2,. . .q entstehen, identisch erfüllt sind. Ist dies der Fall, so können 

 die (2) durch die folgenden ersetzt werden: 



= (], l)ar,-4-(l, 2)oX+ . . . -+-(], g)5.f, 

 0=:(2, l)oV,+(2, 2)Sx,+ . . . +(2, q)5.r^ 



(^) 



= (fy, l)Sx^+(q, 2)ox^+ . . .+(q, q)dx^, 



ohne dass damit zwischen den Variationen ^x^, ox^,..., dx^ irgend eine Bedingung festgesetzt wird und umge- 

 kehrt, wenn die (3) gelten sollen, während die ebengenaunten Variationen untereinander unabhängig bleiben, 

 so kann dies nicht anders geschehen, als wenn die (2) identisch befriedigt sind. Man kann also sagen, dass 

 der Ausdruck (1) unbeschränkt integrabcl ist, wenn die Gleichungen (3) zwischen den Variationen 

 'J.X', , ox^,. . .öxj keine Beziehungen involviren. 



Sind die Gleichungen (2) nicht identisch befriedigt, so kann der Ausdruck (1) nur durch mehr als eine 

 Relation zwischen den Variabein x^, x^,. . ..r, und ^ integrirt werden, ist also nicht unbeschränkt integrabel, 

 und gleichzeitig können die Gleichungen (3) nicht mehr bestehen, ohne die Variationen 5x^, ^.r^,. . .$x^ in 

 Beziehung zu einander zu setzen. Es besteht also ein Zusammenhang zwischen der Integrabilität der Gleichung 

 {!) und der Art, wie die (2) befriedigt werden können. 



