Die hüegraüon der partiellen DiferentiaU/leichuHCjeii. 3 



Um diesen Zusammenhang näher zu erkennen, nehmen wir an, dass ?n der Variabein x^, j\,. . ..r, inde- 

 pendent bleiben, und denken uns vermittelst der integrirenden Beziehungen 



als Functionen von 



dargestellt, welch' letztere dann unabhängig bleiben. Die Gleichung (1) verwandelt sich bei dieser Annahme 

 in die folgende: 



X=q—m X=q — in 



dz = (zf + y^,„+x -y— ) ^1x, + . . .+ (z,,, + y 2-,,,+), g"'"^' j (h„, (4) 



und diese muss, nachdem die .<-,„4.i,. . ., .r,„ überall durch ihre Werthe in .r, , x^,. . .x,„ ersetzt worden sind, 

 unbeschränkt integrabel sein. Entwickeln wir also die Ausdrücke, welche oben durch fr, s) bezeichnet worden 

 sind, für die Gleicbung (4) und bezeichnen sie zum Unterschiede durch eckige Klammern, so erhalten wir: 



t\ 'f.=q — m X=q — m 



Es ist aber 



x=i 







sonach 



' ;n+X ' 

 >.= I X=i 



X^=g — m 'K^q—m \i.=q — m ),=g — m 



Zj V 8j^* / 8-c,- Z_] Zj Vö^,„+^/ 3x,- 3.1* Zj""'"^'' 3.^/ 8-Ki- ' 



).= l > = 1 (1=1 x=i 



>.=?— m X=4— m |j.=ä-m 



[,-, Ai= {„■, ,0* V(,v,„+,, »£|±. j + V i(..,x, .,+ 2;(,„+, ,„+„ ?9^| ?£^ . 



).= 1 X=l |i=l 



Durch dieselben Relationen , welche wir soeben zur Bildung der Ausdrücke [/, k] verwendet haben, 

 verwandeln sich andererseits die Gleichungen (3) in die nachstehenden: 



>.;=g — m X=q — m 



= [(1, 1)+ ^(1, m+Ä)-:^]oX+ . . .+ [a,«0+ Vo, >« + /)^] oX, 



X=l ' X=i 



welche wegen der Unabhängigkeit der oj-, , &-j,,. . ., ox,,, in Gleichungen von der Form: 



X=q — m 



= (•;, 1:) + Jjii, m + X) ^1^ (5) 



zerfallen, worin der Reihe nacli für / alle ganzen Zahlen von 1 bis q, für k hingegen blos jene von 1 bis m zu 

 setzen sind. Durch diese Gleichungen werden aber die [/,A:] identisch Null, woraus erhellt, dass die Glei- 

 chungen (3) eben jene Beziehungen zwischen den x^, x^^. . .x^ festsetzen, durch welche der Ausdruck (1) 



integrabel wird. 



